Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.1.1 • Page 184 de 396
15.1.1. Potentiel de gravitation
Soit g(P ) un champ vectoriel continu et dérivable des points de l’espace. On dit qu’il dérive d’un potentiel
si et seulement si il existe une fonction scalaire U(P ), continue et dérivable, telle que sa différentielle totale dU
évaluée dans un déplacement quelconque dP du point P soit égale à la circulation élémentaire du champ entre
P et P + dP :
dU = g(P ) · dP (4.2)
g(P ) est alors appelé gradient de U en P : g(P ) = grad P U(P ) = ∂U , et l’on dit que c’est un champ de
∂P
gradient. Evidemment, la somme de plusieurs champs de gradient est un champ de gradient dont le potentiel
résultant est la somme des potentiels correspondants.
Donc, si g est un champ de gradient, sa circulation élémentaire en tout point est une différentielle totale, et
sa circulation le long d’une courbe quelconque joignant deux points A et B ne dépend pas de ce trajet mais
seulement des points de départ et d’arrivée :
∮ B
A
g(P ) · dP =
∫ B
A
dU = U(B) − U(A)
Ainsi, la circulation est nulle si A et B se trouvent sur une même équipotentielle du champ scalaire U(P ), c’està-dire
sur une surface telle qu’en tous ses points P on ait : U(P ) = C te . On en déduit aussi que grad P U(P ) est
orthogonal en P à l’équipotentielle du champ passant par P
La définition qu’on vient de donner du gradient ne fait intervenir aucun repère ni système de coordonnées :
Le vecteur gradient est indépendant de tout repère ; seule l’expression de ses composantes dans une base dépend
du choix de cette base et du choix du système de coordonnées utilisé pour y repérer le point P . Dans un repère
orthonormé Oijk, en coordonnées cartésiennes, si P est repéré par (x, y, z), le potentiel U(P ) est représenté par
•Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter