Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.4.0 • Page 161 de 396
r
a
∞
e2
= 1 − e cos E = 1 +
2 − ∑ e
k (J k−1(ke) − J k+1 (ke)) cos kM (3.131)
Exercice Cette dernière expression montre que la valeur moyenne de r sur une période du mouvement vaut a(1 + e 2 /2) ;
le demi-grand axe n’est donc pas la valeur moyenne de la distance r.
k=1
Pour obtenir enfin l’anomalie vraie w en fonction de l’anomalie moyenne M, il faut d’abord exprimer w en
fonction de E en résolvant l’équation
tan(w/2) = √ (1 + e)/(1 − e) tan(E/2)
puis utiliser les développements qui expriment E, cos nE et sin nE en séries de Fourier de M. En posant p =
√
(1 + e)/(1 − e), cette équation s’écrit encore :
soit, avec q = p − 1
p + 1 = (1 − √ 1 − e 2 )/e :
exp iw =
exp iw − 1
exp iw + 1
(1 − p) + (1 + p) exp iE
(1 + p) + (1 − p) exp iE
= p
exp iE − 1
exp iE + 1
= exp iE
1 − q exp −iE
1 − q exp iE
(3.132a)
On vérifie que q est inférieur à 1, tout comme e, et que si e est petit devant 1, q est de l’ordre de e/2. En passant
aux logarithmes, on obtient :
iw = iE + ln(1 − q exp −iE) − ln(1 − q exp iE)
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