Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.3 • Page 280 de 396
où ε 2 ¯n S 2 (¯x 1 ) représente l’ensemble des termes d’ordre 2 correspondant à un triplet nul. Les vitesses angulaires
(n M , n ω , n Ω ) obtenues à l’ordre 1, sont donc légèrement modifiées par des termes d’ordres supérieurs. n M est
encore de l’ordre de ¯n, tandis que n ω et n Ω demeurent de l’ordre de ε ¯n. Les autres termes du second membre de
(5.93), correspondant à des triplets non nuls, sont ensuite identifiées à d∆x 2
.
dt
¯x 1 étant constant, et ¯x 2 étant fonction linéaire du temps, l’intégration des expressions identifiées à d∆x 1
et
dt
d∆x 2
peut s’effectuer comme à l’ordre 1, sans ajouter de constante d’intégration, pour donner uniquement des
dt
termes périodiques. Dans d∆x 2
, il convient toutefois de calculer ∫ ∆n dt avec une expression de ∆n tirée du
dt
développement de (5.71) non limité à l’ordre 1 :
∆n = − 3 ∆a ¯n
2 ā + 15 ( ∆a
) 2
8 ¯n + · · · (5.96)
ā
Parmi les termes périodiques engendrés par combinaisons d’arguments, certains vont être à longue période :
ce sont ceux pour lesquels on a (k ± k ′ ) = (0, k, l). Ces termes d’ordre 2 vont donc s’intégrer avec un diviseur
kn ω + ln Ω de l’ordre de ε ¯n. Les termes à longue période obtenus à l’ordre 2 dans les équations donnent donc
de nouveaux termes d’ordre 1 dans leur solution ; leur amplitude est alors du même ordre de grandeur que les
termes à courte période obtenus à la première approximation. S’ils sont suffisamment petits, ces termes à longue
période ne nuisent pas à la convergence du processus itératif que l’on a amorcé, et que l’on peut poursuivre en
reportant de nouveau dans les équations (5.72) et (5.73), la solution obtenue dans cette deuxième approximation.
Si certains termes à longue période sont importants au point de rompre la convergence du processus, et c’est le cas
s’il existe par exemple k et l tels que (kn ω + ln Ω ) soit de l’ordre de ε 2 ¯n, ces termes sont appelés termes critiques
et il faut changer la façon de séparer les termes dans les équations : on identifie d’une part d¯x i
dt à l’ensemble
des termes séculaires et critiques, et d’autre part d∆x i
à l’ensemble de tous les autres termes périodiques. La
dt
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