Cours de Mécanique céleste classique

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26.1.1. Solution d’ordre 0 et développements en puissances des masses
L’approximation d’ordre 0 est une solution képlérienne pure, tous les éléments étant constants sauf les longitudes
moyennes qui sont des fonctions linéaires du temps. Pour obtenir une telle solution, on réduit tout simplement
à zéro les seconds membres des équations (6.114), (6.115) et (6.116) puisqu’ils sont d’ordre 1 en ɛ, ce qui
donne les solutions constantes :
A = A 0 X = X 0 Z = Z 0 (6.120)
Pour les constantes X 0 et Z 0 , on peut adopter les valeurs prises par les éléments osculateurs correspondants à
un instant donné t 0 ; on peut les considérer comme les constantes d’intégration des équations (6.115) et (6.116).
Pour A 0 , le choix est plus délicat car les éléments η 0k qui composent cette matrice dépendent aussi d’un choix
encore ouvert des demi-grands axes de référence a 0k (ou des n 0k d’après (6.108)). En fait, on fixe ce choix en
liaison avec celui de L 0 , solution d’ordre 0 de l’équation (6.117). Celle-ci est définie par :
dL 0
= N 0 =⇒ L 0 = N 0 (t − t 0 ) + L 00 (6.121)
dt
On pourrait prendre N 0 = N (t 0 ), valeur des moyens mouvements osculateurs à l’instant t 0 , mais, pour que les
variations des longitudes moyennes soient meilleures dès la première approximation, on adopte plutôt une valeur
moyenne de ces moyens mouvements. Il faut alors supposer que l’on connait au départ la valeur moyenne N k
du moyen mouvement de chaque planète, mais il suffit pour cela d’avoir observé leur longitude sur une durée
suffisamment longue, car on a théoriquement :
N k = lim
T →∞
1
T
∫ T
0
dL k
dt
dt (6.122)
N k est appelé le moyen mouvement moyen et l’on prend pour n 0k une valeur approchée de N k obtenue par
l’observation sur une durée T suffisamment longue (de l’ordre du siècle). Dans ces conditions, il faut que la
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