Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.1.0 • Page 113 de 396
dépendent, comme ces vecteurs, du repère de référence galiléen dans lequel sont exprimés les vecteurs position
et vitesse du point P . Soit R 0 = Oi 0 j 0 k 0 ce repère de référence, utilisé avec des coordonnées sphériques λ et φ
appelées de manière générique longitude et latitude. Il reste à représenter R dans R 0 . On utilise pour cela trois
angles d’Euler Ω, i et ω ainsi définis : Le sens de k étant implicitement défini par le sens du vecteur r ∧ ṙ, le
produit vectoriel k 0 ∧ k définit un vecteur dirigé vers le nœud ascendant de l’orbite sur le plan Oi 0 j 0 , c’est-à-dire
vers le point où P , en mouvement sur son orbite, traverse ce plan en passant d’une latitude négative à une latitude
positive. Ainsi, soit n le vecteur unitaire de la direction k 0 ∧ k du nœud ascendant.
– Ω est l’angle de rotation mesuré autour de k 0 entre i 0 et n
– i est l’angle de rotation mesuré autour de n entre k 0 et k
– ω est l’angle de rotation mesuré autour de k entre n et u 0
Ω est la longitude du nœud ascendant, i l’inclinaison de l’orbite sur le plan Oi 0 j 0 et ω l’argument du péricentre.
La latitude φ 0 et la longitude λ 0 de la direction du péricentre peuvent s’en déduire par la trigonométrie
sphérique :
sin φ 0 = sin i sin ω et tan(λ 0 − Ω) = cos i tan ω (3.43)
Exercice Le point P étant repéré dans le plan Ou 0 v 0 par l’anomalie vraie w, ses coordonnées φ et λ dans R 0 s’en
déduisent immédiatement :
sin φ = sin i sin(ω + w) et tan(λ − Ω) = cos i tan(ω + w) (3.44)
Dans le cas d’un mouvement rectiligne, celui-ci est porté par la demi-droite issue de O de vecteur unitaire
u = −u 0 , repérable dans R 0 par les coordonnées sphériques constantes λ et φ du point P . Si Ou 0 n’est pas
colinéaire à Ok 0 , définissons k comme vecteur unitaire de k 0 ∧ u 0 ; le vecteur n = k 0 ∧ k est alors suivant
le nœud du demi-plan “vertical” normal à k et contenant Ok 0 et la demi-droite Ou support du mouvement ;
les angles d’Euler Ω, i et ω définis comme précédemment à partir de k et de n, vérifient : Ω = λ, i = π/2 et
ω = φ+π. Avec w = π, les formules (3.44) sont encore vraies. Si Ou 0 et Ok 0 sont colinéaires, tout plan vertical
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