Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.1 • Page 268 de 396
22.1.1. Première approximation
Dans les équations précédentes, on ne conserve que les parties d’ordre 1 en ε en faisant l’hypothèse que ∆x i
est lui-même d’ordre 1. Alors, on identifie d’abord :
d¯x 1
dt = 0 =⇒ ¯x 1 = ¯x 10
= (a 0 , e 0 , i 0 ) constant
(5.74)
d¯x 2
dt = ¯n + ε ¯n S(¯x 1) = n x2 constant =⇒ ¯x 2 (t) = n x2 t + ¯x 20
¯n est ici une constante n 0 , déduite de ā = a 0 , de façon à avoir ¯n 2 ā 3 = n 2 0a 3 0 = µ. Alors, la relation (5.71) impose
qu’à l’ordre 1 en ε on ait :
∆n = − 3 ¯n
∆a (5.75)
2 ā
La matrice n x2 comporte maintenant 3 composantes non nulles que l’on notera pour la suite (n M , n ω , n Ω ) : la
première est d’ordre zéro, comme ¯n, tandis que les deux autres (vitesses angulaires de ω et de Ω) sont de l’ordre
de ε. On identifie ensuite :
d∆x 1
= ε ∑ ¯n P 1k (¯x 1 ) sin(k · ¯x 2 )
dt
k
d∆x 2
= ∆n + ε ∑ (5.76)
¯n P 2k (¯x 1 ) cos(k · ¯x 2 )
dt
k
Vue la nature des solutions ¯x 1 et ¯x 2 , ces deux équations s’intègrent facilement terme à terme, et, comme on a
déjà introduit des constantes d’intégration dans ¯x 1 et ¯x 2 , une solution particulière suffit (on n’ajoute donc plus
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