Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.7.0 • Page 168 de 396
à regrouper les termes correspondant à une même puissance de l’excentricité, on obtient une série entière de e,
à coefficients périodiques (sous réserve de la validité de ce réarrangement). La propriété de d’Alembert montre
qu’on a alors, en facteur de chaque puissance de e, un nombre fini de termes périodiques. Par exemple, en
développant les fonctions de Bessel dans l’expression (3.118) de E −M, on trouve le développement de Fourier :
E − M =
(e ·)
− e3
8 + e5
192 + · · sin M
( e
2
·)
+
2 − e4
6 + e6
48 + · · sin 2M
( 3e
3
·)
+
8 − 28e5
128 + · · sin 3M + · · ·
ou la série entière de e :
E − M = e sin M + e2
2
sin 2M +
e3
8
(− sin M + 3 sin 3M) + · · ·
Il importe de remarquer que la convergence uniforme des séries de Fourier pour tout M et quel que soit e < 1,
n’entraîne pas la convergence pour tout e des séries entières en excentricité qui leur correspondent. En fait, cette
convergence n’est assurée que si l’on a : e < 0, 6627434 · · · Pour le montrer, rappelons d’abord le théorème de
Lagrange :
Etant donnée une fonction complexe φ(z) de la variable complexe z, on considère l’équation suivante : z =
a + εφ(z) où a et ε sont également donnés. Si φ(z) est fonction analytique de z à l’intérieur du contour (C) du
plan complexe entourant le point a et défini par : |εφ(z)| ≤ |z − a|, alors l’équation z = a + εφ(z) a une racine
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