Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 343 de 396
Remarque 2. Chaque terme de la somme (6.66) est le produit d’un coefficient réel C M,j , d’un monôme des 8
variables z, z, z ′ , z ′ , ζ, ζ, ζ ′ et ζ ′ , et d’une fonction trigonométrique d’argument (pL+p ′ L ′ ). Traditionnellement,
dans tout développement de cette forme, une combinaison entière des longitudes moyennes, telle pL + p ′ L ′ , est
appelée inégalité ; par extension on appelle aussi inégalité (p, p ′ ) l’ensemble des monômes et de leurs coefficients
venant en facteur de exp √ −1(pL + p ′ L ′ ) ; on appelle encore caractéristique de l’inégalité et caractéristique du
monôme les quantités C I et C M ainsi définies pour chaque terme :
C I = p + p ′ et C M = (k + k ′ + l + l ′ ) − (k + k ′ + l + l ′ ) (6.70)
Les relations (6.67) montrent alors que chaque terme de la série représentant cos S vérifie :
C I = p + p ′ = k − k + l − l + k ′ − k ′ + l ′ − l ′ = C M (6.71)
Cette égalité de C I et de C M caractérise la propriété de d’Alembert pour les séries trigonométriques dépendant
de plusieurs arguments ; elle étend à ces séries la propriété de d’Alembert de rang 0 vue en §3-13.5 pour les
développements trigonométriques à un seul argument : On a indiqué par exemple en (3.146) que le développement
de (r/a) n θ m en coefficients de Hansen vérifie la propriété de d’Alembert de rang 0 ; en exprimant ce
développement en fonction de z, z et de L, on obtient :
( r
a
) n
θ m =
+∞∑
p=−∞
Y n,m
m+p(zz) z p exp √ −1pL (6.72)
où, pour p < 0, il faut adopter la convention : z p ≡ z |p| . Pour l’inégalité pL, on a bien C I = p = C M .
La propriété de d’Alembert s’énonce encore en disant qu’un terme de caractéristique C I est toujours de degré
global au moins égal à |C I |, et on peut même préciser que la différence entre le degré global du monôme d’un
terme et la caractéristique de l’inégalité correspondant à ce terme est toujours un entier pair ; on peut écrire en
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