Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.2 • Page 297 de 396
Remarque 1. S’il existe des entiers k 1 et k 2 tels que le diviseur k 2 n 1 2 + k 3 n 1 3 soit de l’ordre de ε ou même
plus petit, le terme correspondant ne peut pas être intégré comme on l’a fait en (5.127) pour être ensuite inclus
dans G ′ 1. On se trouve alors devant un terme critique ou résonnant, comme dans la remarque 2 du paragraphe
précédent, mais la résonance se faisant cette fois entre des variables lentes (on parle alors de résonance séculaire).
Ces termes critiques, s’ils existent, nécessitent un traitement spécial : ils sont exclus de G ′ 1 et inclus, non intégrés,
dans H ′(1) . Ainsi, dans le cas du satellite artificiel perturbé par les harmoniques zonaux de sa planète, comme k 3
est nul dans chaque terme, les termes critiques correspondent à n 1 2 plus petit que ε. Or, avec εS ′(1) qui s’identifie
à l’expression de U J2 donnée en (5.63), et avec x 2 ≡ G et x 3 ≡ Θ = G cos i, l’équation (5.117) donne :
εn 1 2 = − ∂U J 2
∂G = 3 a 2 ( )
4 µ4 e
J 2
L 3 G 4 5 Θ2
G 2 − 1
Cette vitesse angulaire s’annulle pour cos 2 i = 1/5, soit pour i = 63 ◦ 26 ′ ou i = 116 ◦ 34 ′ (cf. (5.83)). On
retrouve l’inclinaison critique au voisinage de laquelle la méthode de Brouwer présentée ici n’est plus valable :
les termes en cos 2ω (ou ici en cos 2y 2 ) ne peuvent pas être éliminés de l’hamiltonien et l’intégration des équations
d’Hamilton au voisinage de l’inclinaison critique nécessiterait de recourir aux fonctions elliptiques. . .
Remarque 2. Lorsque l’on compare les deux méthodes de perturbation présentées dans ce paragraphe, on voit
que la méthode itérative nécessite de faire le développement de Taylor du second membre de chaque équation,
soit 6 développements pour le problème du satellite artificiel ; en revanche, en variables canoniques, on n’a
besoin de ne développer qu’une seule fonction — l’hamiltonien — mais en contrepartie, la forme analytique de
celui-ci est souvent plus complexe que celle des seconds membres exprimés en variables osculatrices classiques ;
par ailleurs, il y a un autre inconvénient : pour revenir aux variables initiales, on ne dispose que d’expressions
implicites qu’il faut inverser. Néammoins, l’intérêt des méthodes de perturbation en variables canoniques est
important, d’autant plus que des méthodes plus performantes que celle de Von Zeipel existent mais dépassent le
cadre de ce cours ; disons seulement leur principal avantage : en utilisant des développements en séries de Lie à
la place des séries de Taylor, on peut, au lieu de (5.113), construire des changements de variables canoniques qui
•Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter