Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.3.2 • Page 324 de 396
P 1 reste assimilable à un mouvement képlérien planétocentrique perturbé par P 0 . Il faut pour cela que, dans
l’équation (6.18), le rapport R ′ entre les modules de la partie perturbatrice et de la partie képlérienne soit inférieur
à un certain ε petit donné :
∣ ∣∣∣ r 1
m 0
|r 1 | 3 − r ∣
2 ∣∣∣
|r 2 | 3
R ′ =
(m 1 + m 2 )
< ε (6.34)
1
|r 2 − r 1 | 2
Exercice ϕ désignant toujours l’angle entre entre P 1 P 0 et P 1 P 2 , et conservant la notation (6.31) pour α, on trouve :
R ′ =
Donc, R ′ < ε, correspond à :
m 0
m 1 + m 2
α 3 √ 1 + 3 cos 2 ϕ (1 + O(α)) ≥
α <
m 0
m 1 + m 2
α 3 (6.35)
(
ε m ) 1/3 (
1 + m 2
≃ ε m ) 1/3
1
(6.36)
m 0
m 0
Dans le même temps, l’équation (6.16), qui définit le mouvement héliocentrique de la planète, donne aussi,
en changeant tous les signes, le mouvement planétocentrique du Soleil ; celui-ci pourra être assimilé à un mouvement
képlérien perturbé par le satellite si le terme en Km 2 est suffisamment petit. Or, ce terme contient la
quantité 1/|r 2 − r 1 | 2 , qui est d’autant plus importante que la distance du satellite à la planète est plus petite. Pour
pouvoir traiter aussi cette équation comme un problème képlérien perturbé, avec le même ε, il faut que l’on ait :
R ′′ =
m 2
∣ ∣∣∣ r 2 − r 1
|r 2 − r 1 | 3 − r 2
|r 2 | 3 ∣ ∣∣∣
(m 0 + m 1 )
≃ m 2
1
|r 1 | 2
1
|r 2 − r 1 | 2
m 0
1
= m 2 |r 1 | 2
m 0 |r 2 − r 1 | 2 < ε
|r 1 | 2
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