Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.4.0 • Page 138 de 396
soit l’orientation de cette vitesse lors du lancement. L’orbite parabolique éloigne le point P du point O jusqu’à
l’infini. On dit que V p (r) est aussi la vitesse de libération à la distance r et pour la constante µ. C’est la vitesse
qu’il suffit juste de donner au point P pour l’éloigner à une distance infinie du point O, et pour qu’il “y arrive”
avec une vitesse nulle. Ainsi, selon que la vitesse initiale donnée à la distance r est inférieure, égale ou supérieure
à V p (r), l’orbite est nécessairement elliptique, parabolique ou hyperbolique respectivement.
Exercice Pour la planète Terre, de rayon R ≃ 6378 km et de constante µ = 398600 km 3 s −2 , la vitesse circulaire à la surface
de la Terre (vitesse de satellisation) vaut 7, 905 km.s −1 ; la vitesse de libération correspondante (à la surface
de la Terre) est √ 2 fois plus grande : 11, 18 km.s −1 . De même, dans le système solaire où la constante µ vaut
environ 39, 4769 UA 3 .an −2 , la vitesse circulaire en un point situé à 1 UA du Soleil est égale à 6, 2831 UA.an −1
soit 29, 785 km.s −1 ; la vitesse de libération du système solaire à 1 UA vaut alors 42, 122 km.s −1 .
Dans le cas d’une orbite hyperbolique (2h = µ/a = V 2 ∞ > 0), on peut écrire :
|ṙ| 2 = 2µ r + µ a = V 2
p + V 2 ∞ (3.87)
A l’infini, le vecteur vitesse est porté par l’une ou l’autre des asymptotes ; sur l’une, la vitesse est dirigée vers le
centre C de l’hyperbole, tandis que sur l’autre, elle éloigne P de C ; l’angle δ entre les asymptotes orientées dans
le sens du mouvement de P à l’infini, représente la déviation de P due à l’attraction de O par l’intermédiaire de
la constante d’attraction µ. On a :
δ = π − 2(π − w ∞ ) avec cos w ∞ = −1/e =⇒ sin(δ/2) = 1/e
En utilisant les relations : q = a(e − 1), b = a √ e 2 − 1 et a = µ/V 2 ∞, on obtient encore :
sin δ 2 = 1
1 + qV 2 ∞
µ
(3.88)
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