Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 74 de 396
On en déduit le théorème suivant :
Théorème 1. Le changement de variables défini par les fonctions (f i , g i ) est canonique si et seulement si
les propriétés suivantes sont réunies, pour tout j et pour tout k :
{
1 si j = k
– [x j , y k ] = δ jk =
(symbole de Kronecker)
0 si j ≠ k
– [x j , x k ] = 0
– [y j , y k ] = 0
– Il existe F ∗ (x i , y i , t) tel que [t, α] = ∂F ∗
∂α pour tout α pris dans l’ensemble des variables (x i, y i )
Le nouvel hamiltonien est alors : H ′ (x i , y i , t) = H ∗ − F ∗
Remarque . Si le changement de variables ne dépend pas explicitement de t, on a ∂f i
∂t = ∂g i
= 0 pour tout i ;
∂t
les crochets [t, x j ] et [t, y j ] sont alors nuls quelque soit j et l’on peut prendre F ∗ = 0. Dans ce cas, l’hamiltonien
conserve sa valeur : H ′ = H ∗ = H
Exercice Exemple : On pourra vérifier que les changements de variables suivants sont canoniques et conservent la valeur
de l’hamiltonien :
{
qi = √ 2x i cos y i
1.
p i = √ 2x i sin y i
⎧
q 1 = √ x 1 /ω 1 cos y 1 + √ x 2 /ω 2 cos y 2
⎪⎨
q 2 = − √ x 1 /ω 1 cos y 1 + √ x 2 /ω 2 cos y 2
2.
p 1 = √ x 1 ω 1 sin y 1 + √ x 2 ω 2 sin y 2
⎪⎩
p 2 = − √ x 1 ω 1 sin y 1 + √ x 2 ω 2 sin y 2
où ω 1 et ω 2 sont deux constantes
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