Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.2.0 • Page 243 de 396
21.2. Application au cas du potentiel de gravitation d’une planète
On considère un satellite P de masse négligeable, en mouvement autour d’une planète de centre O et de
masse M, et on suppose qu’il est perturbé par la non-sphéricité de cette planète. Pour simplifier, on réduit ici le
potentiel perturbateur au terme en J 2 ; l’équation du mouvement de P s’écrit alors ainsi :
¨r = − µ r (
r 3 + grad a 2 (
e 3
−µ J 2
r 3 2 sin2 ϕ − 1 ) ) où µ = KM (5.31)
2
Il convient de faire attention à la nature des coordonnées utilisées dans une telle équation : En principe,
l’expression du potentiel de gravitation est donnée en fonction de coordonnées sphériques (r, λ, ϕ) définies dans
un repère R lié à la planète, tandis que l’équation du mouvement de P telle qu’elle est écrite ci-dessus est vraie
seulement dans un repère R 0 galiléen. Il faut donc d’abord faire les transformations pour que les coordonnées
utilisées soient relatives à un repère galiléen.
Supposons d’abord que l’origine O soit fixe ou animée d’un mouvement rectiligne et uniforme : cela revient
à négliger ici le mouvement de la planète autour du Soleil et à considérer que le système étudié est isolé dans
l’espace.
Si la planète tourne sur elle-même autour d’un axe de direction fixe, soit Ok 0 cet axe et θ l’angle de rotation,
autour de cet axe, de R par rapport au repère R 0 (on suppose bien sûr que le troisième axe de R est aussi confondu
avec cet axe fixe). Alors, les coordonnées sphériques (r, α, δ) de P dans R 0 sont reliées aux coordonnées (r, λ, ϕ)
du même point dans R par les relations : α = θ + λ et δ = ϕ.
Ici, comme le potentiel perturbateur U J2 ne dépend pas de la coordonnée λ, cette transformation est très simple
a
à faire : il suffit d’y remplacer ϕ par δ. On obtient alors U J2 = −µ J 2 ( )
e 2
r 3 3
2 sin2 δ − 1 , puis les composantes R,
2
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