Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.1.3 • Page 377 de 396
Pour obtenir la solution d’ordre 2, il suffit d’intégrer terme à terme les équations précédentes. Les parties
linéaires en t donnent des polynômes de degré 2 en t, les termes périodiques restent périodiques et les termes
mixtes s’intègrent par parties pour donner un terme périodique et un autre mixte :
∫
( √
t exp √ −1 t
−1(p · L 0 )dt = −
(p · N 0 ) + 1
)
(p · N 0 ) 2 exp √ −1(p · L 0 ) (6.146)
Ainsi, la solution A 2 ne comporte que des termes périodiques et mixtes, qui peuvent être éventuellement à longue
période :
A 2 = A (0)
2 + ∑
(p)≠(0)
[
N 0
′
(p · N 0 ) P(A)
2,p +
( −
√ −1N ′ 0
(p · N 0 ) t + N ′ 0
(p · N 0 ) 2 )
P ′(A)
2,p
]
exp √ −1(p · L 0 )
(6.147)
Cette solution doit ensuite être intégrée une deuxième fois dans l’équation (6.145). La constante d’intégration
A (0)
2 est alors déterminée pour que dL 2 /dt ne contienne pas de terme constant d’ordre 2 :
− 3 2 N 0A (0)
2 + N ′ 0S (L)
2 (A 0 , X 0 , Z 0 ) = 0
Cela évite à L 2 de dépendre d’un terme proportionnel à t, puisqu’on a déjà fixé les moyens mouvements moyens.
Il reste cependant dans dL 2 /dt un terme linéaire en t qui, par intégration, donnera inévitablement un terme en
t 2 dans la longitude moyenne. Notons que cette deuxième intégration de l’expression (6.147) fait intervenir,
pour les termes périodiques, des diviseurs (p · N 0 ) élevés à la puissance 3. Quant aux solutions X 2 et Z 2 ,
elles comportent aussi des polynômes de degré 2 en t, auxquels s’ajoutent des termes périodiques et mixtes
d’expressions analogues à celle donnée en (6.147).
On pourrait montrer qu’à partir des solutions d’ordre 1 et 2 ainsi obtenues, on peut construire les équations
d’ordre 3 puis les intégrer de la même manière et construire ainsi de proche en proche une solution d’ordre de
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