Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.0.7 • Page 357 de 396
dans une rotation d’angle φ autour de k 0 , les éléments a, e, i, M, et ω sont inchangés et seul Ω est transformé en
Ω + φ. Donc L et ϖ sont aussi transformés en L + φ et ϖ + φ. Les éléments de l’autre planète sont transformés
de la même façon. Chaque terme T des développements est alors transformé en :
T × exp √ −1(p + p ′ − (k − k + l − l + k ′ − k ′ + l ′ − l ′ ))φ (6.96)
L’invariance par rotation autour de k 0 est donc équivalente à C I = C M .
De même, nous avons vu que tous les développements construits ici sont de degré pair par rapport aux variables
d’inclinaison. En fait, ceci est également dû à l’invariance des quantités r, r ′ , ∆, cos S, · · · lorsqu’on
change le repère R 0 en son symétrique par rapport au plan P 0 i 0 j 0 . En effet, dans une telle symétrie, les nœuds
ascendants sont transformés en leurs opposés. Donc, pour chaque orbite, Ω est changé en Ω + π, et ω en ω + π,
mais l’anomalie moyenne M est inchangée, tout comme les variables X et z. Enfin L augmentant de 2π est aussi
inchangé, tandis que Y et ζ changent de signe. Donc chaque terme T est transformé en :
(−1) (l+l+l′ +l ′) T (6.97)
Pour que ces développements soient inchangés, il faut donc que le degré total en inclinaisons soit pair.
Néammoins, l’intérêt de la propriété de d’Alembert vient surtout ici du fait que le simple calcul de la caractéristique
d’inégalité d’un terme fournit immédiatement le degré minimum de ce terme par rapport aux excentricités
et aux inclinaisons. Les termes dont la caractéristique d’inégalité est élevée sont alors généralement
négligeables ; par exemple, une inégalité telle que 15L − 40L ′ a une caractéristique égale à −25 et son degré
global est au moins égal à 25 en excentricités et inclinaisons !
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