Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.1.0 • Page 84 de 396
β j :
∂ 2 G 2
∂t∂β j
= − ∑ k
= − ∑ k
= − ∑ k
∂H
( ) ∂G2
∂
∂q k
( ∂H
∂ 2 )
G 2
∂p k ∂β j ∂q k
(
∂ 2 )
G 2
˙q k
∂β j ∂q k
∂ ( ) ∂G2
∂β j ∂q k
d ′ après (2.37)
puisque
˙q k = ∂H
∂p k
Le report de cette dernière valeur de ∂2 G 2
∂t∂β j
dans (2.40) conduit à dx j
dt = 0 (cqfd).
Remarque . Aucune des constantes β j ne doit être additive. En effet, si G 2 est solution de (2.35), G 2 + β 1 l’est
aussi si β 1 est une constante additive ; mais alors, la relation (2.38) correspondante : x 1 = ∂G 2 + β 1
∂β 1
= 1 = α 1
ne constitue pas une équation reliant les anciennes variables aux nouvelles ; il manquerait donc une équation
pour pouvoir inverser les équations (2.38) en vue d’exprimer les q i en fonction des α j , des β j et du temps.
Exemple : Considérons le problème intégrable de l’oscillateur harmonique (attraction d’un point par un centre
fixe, proportionnellement à sa distance). Simplifions encore en supposant le mouvement rectiligne. On a donc
pour ce point une seule variable de position : q (élongation). Son énergie cinétique est T = 1m 2 ˙q2 et son énergie
potentielle est −U = 1 2 kq2 (la force vaut grad U = −kq). La variable conjuguée de q est p = ∂T = m ˙q, et
∂ ˙q
l’hamiltonien H = T − U vaut : H = 1
2m p2 + 1 2 kq2
La méthode d’Hamilton-Jacobi consiste à trouver G 2 (q, β, t) tel que, pour des nouvelles variables x, y, le
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