Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.1.1 • Page 366 de 396
partie séculaire de l’équation (6.117) soit aussi égale à N 0 , c’est-à-dire :
N 0 = N 0 + N 0 V 0 + N 0 (I + V 0 ) ɛ S (L)
1 (A 0 , X 0 , Z 0 ) (6.123)
Pour écrire cette équation, on a remplacé dans (6.117) N et N par la partie constante des expressions (6.113),
c’est-à-dire avec des matrices V 0 et V 0 ayant pour éléments des constantes ν 0k déterminées avec A 0 de façon
à satisfaire l’équation (6.123) ; tenant compte de la relation (6.113) entre V et A, cela revient à déterminer la
constante A 0 de telle sorte qu’on ait :
− 3 2 N 0A 0 + N 0 (I − 3 2 A 0) ɛ S (L)
1 (A 0 , X 0 , Z 0 ) = 0 (6.124)
où A 0 est la matrice carrée diagonale ayant les mêmes éléments η 0k que A 0 . Cette équation montre que A 0 est
au moins d’ordre 1 en ɛ, valant en première approximation :
A 0 = 2 3 ɛ S(L) 1 (0, X 0 , Z 0 ) (6.125)
Il suffit de reporter cette valeur à l’intérieur de S (L)
1 dans (6.124) pour en tirer une meilleure approximation, et l’on
peut éventuellement réitérer. La constante a 0k η 0k qu’on en déduit pour chaque planète est appelée perturbation
constante du demi-grand axe. Notons cependant que les coefficients qui apparaissent dans le développement de
S (L)
1 sont eux-mêmes des fonctions des a 0k , calculés à partir des n 0k par la relation (6.106).
Pour développer une solution en puissances des masses au voisinage de la solution d’ordre 0 que l’on vient
de définir, on décompose chaque variable en une somme de variables ordonnées selon leur ordre explicite en ɛ.
On écrit ainsi, d’abord pour ν k et η k :
ν k = ν 0k + ɛν 1k + ɛ 2 ν 2k + · · · et η k = η 0k + ɛη 1k + ɛ 2 η 2k + · · · (6.126)
Cependant, on vient de voir que ces variables sont au moins d’ordre 1, puisque ν 0k et η 0k sont des constantes
de l’ordre de ɛ ; on peut donc inclure ces constantes dans ɛν 1k et ɛη 1k en écrivant : ν 0k = ɛν (0)
1k et η 0k = ɛη (0)
1k ,
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