Cours de Mécanique céleste classique

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plus faibles. La construction d’une théorie générale pour un système de satellites est donc réalisable, même
en vue de fournir des éphémérides. C’est ainsi que les satellites d’Uranus, qui ont la particularité de ne pas
être en résonance, sont représentés depuis quelques années par une théorie générale analogue à celle présentée
ici. Cependant, les systèmes de satellites de Jupiter ou de Saturne possèdent plusieurs résonances. On peut
étendre la méthode de la théorie générale au cas d’une résonance orbitale d’ordre q (avec toutefois q ≠ 0) :
cela correspond à une combinaison pn 0i − (p + q)n 0j très proche de zéro. Les termes de l’inégalite résonante
pL i − (p + q)L j et ceux de ses multiples entiers k(pL i − (p + q)L j ) sont appelés termes critiques. On sépare
alors les termes critiques des termes périodiques ordinaires : Les termes critiques sont regroupés, avec les termes
séculaires (indépendants explicitement de t), dans un système appelé système critique. Les termes non résonnants
restent dans des systèmes d’équations analogues à (6.164) et (6.165), qui s’intègrent de la même façon. On
peut montrer que le système critique, qui dépend du temps et des variables ˆq k par l’intermédiaire des termes
résonnants, peut quand même être transformé en un système autonome, grâce à un changement de variables de
( )
( )
la forme : ŵ i = ẑ i exp − √ pLi − (p + q)L j
−1
q et ŵ j = ẑ j exp − √ pLi − (p + q)L j
−1
q , et d’autres variables
ŵ ′ , analogues à ŵ, définies en remplaçant ẑ par ˆζ. Ce système diffère du système séculaire (6.160) à (6.163)
car dÂ
dt n’est plus nul, mais leurs seconds membres deviennent de nouveau indépendants de ̂Q. Le problème
est alors ramené à trouver un noyau intégrable dans ce système autonome, permettant ensuite de construire une
solution perturbée pour le système critique complet.
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