Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.9.0 • Page 177 de 396
13.9. Développements des coordonnées en fonction de la longitude moyenne
Jusqu’ici, les développements recherchés étaient ceux des coordonnées de P dans le repère propre Ou 0 v 0
du mouvement képlérien. Ces développements ont été exprimés en fonction des 3 éléments a, e et M. On peut
aussi avoir besoin d’exprimer, en fonction du temps, les coordonnées sphériques de P (latitude φ et longitude
λ) dans le repère de référence Oi 0 j 0 k 0 ; il faut donc introduire les 3 autres éléments : la longitude du nœud Ω,
l’inclinaison i et l’argument du péricentre ω.
Lors de la définition de ces éléments en §3-12.1, on a déjà vu les relations (3.44) :
tan(λ − Ω) = cos i tan(ω + w) et sin φ = sin i sin(ω + w)
La première relation est de la forme tan y = p tan x et, en §3-13.4, on a déjà développé la racine y d’une telle
équation en fonction de x dans le cas où p est voisin de 1 ; par simple transposition de l’expression (3.132b), on
obtient :
λ − Ω = ω + w +
∞∑
k=1
1
k
( ) k cos i − 1
sin 2k(ω + w)
cos i + 1
Ce développement converge pour 1 − cos i
1 + cos i = tan2 (i/2) < 1, soit i ≠ π/2. On peut y introduire la longitude
moyenne : L = Ω + ω + M de la façon suivante :
λ = L + (w − M) +
∞∑ (−1) k
tan 2k (i/2) sin[2k(L − Ω) + 2k(w − M)]
k
k=1
où l’équation du centre (w − M) s’exprime comme on vient de le voir, en fonction de e et de M = L − Ω − ω =
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