Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.2 • Page 122 de 396
On en déduit : dΘ/dt = 0 ; mais par ailleurs, (3.60) donne : ˙Θ = −λ sin γ cos ψ et donc il faut λ = 0 pour que
la liaison soit réalisée quel que soit ψ. On vérifie ensuite que l’équation d’Hamilton donnant dΓ/dt est aussi
identiquement nulle. Le multiplicateur étant nul, l’équation de liaison est réalisée de façon “naturelle”, sans faire
intervenir de forces pour maintenir cette liaison. On retrouve que le mouvement képlérien est plan.
Γ étant identiquement nul et γ pouvant être défini par le rapport constant Θ/Ψ = cos γ, on peut enfin considérer
que ces deux variables canoniquement conjuguées sont superflues ; alors, l’hamiltonien se réduit à l’expression
:
H(r, ψ, ϑ, R, Ψ, Θ) = 1 [R 2 + Ψ 2 ]
2 r 2 − µ (3.62)
r
On retrouve l’hamiltonien du problème de Kepler plan obtenu dans l’exemple du paragraphe §2-7.0 en fonction
de coordonnées polaires dans ce plan. Le calcul qu’on vient de faire montre que dans le problème képlérien
spatial, le plan fixe dans lequel s’effectue le mouvement est défini par deux variables canoniques constantes ϑ et
Θ où ϑ est la longitude du nœud et où l’inclinaison est donnée par le rapport constant cos γ = Θ/Ψ. Par ailleurs,
on reconnaît maintenant que Ψ = r 2 ˙ψ = G · k est le module G du moment cinétique défini en (3.7). Avec les
notations classiques des éléments d’orbite : Ω = ϑ, i = γ et G = Ψ, on a donc le jeu de variables canoniques
suivant pour le problème de Kepler :
(r, ψ, Ω, R, G, Θ) avec Θ = G cos i (3.63)
Avec l’hamiltonien (3.62), on écrirait bien sûr des équations canoniques d’Hamilton “sans multiplicateur”.
Ne dépendant pas explicitement du temps, H est constant et sa valeur représente l’énergie totale du mouvement
képlérien qu’on avait notée h en (3.6).
Notons encore que l’hypothèse γ ≠ 0 était indispensable pour assurer que Θ soit une quantité distincte de Ψ
sinon, le problème aurait été dégénéré, passant d’un problème spatial à un problème plan.
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