Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.5.0 • Page 257 de 396
Les coefficients de Hansen X n,m
k
(e) se calculent en utilisant le formulaire de Brumberg (cf. (3.156) à (3.158)) ;
cependant pour k = 0, il est ici plus commode de les calculer directement comme termes indépendants de M
dans les développements en série de Fourier des fonctions (a/r) 3 et (a/r) 3 cos 2w. En utilisant le changement
de variable dM = (1 − e 2 ) −1/2 ( a r )2 dw issu de la loi des aires (r 2 dw = na 2√ 1 − e 2 dt), on obtient en effet :
X −3,0
0 (e) = 1
2π
∫ 2π
0
( a
r
) 3
dM
= (1 − e 2 ) −1/2 1
2π
= (1 − e 2 ) −3/2
X −3,2
0 (e) = 1
2π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
a
r dw = (1 − e2 ) −3/2 1
2π
( a
r
= (1 − e 2 ) −1/2 1
2π
= (1 − e 2 ) −3/2 1
2π
= 0
) 3
cos 2w dM
∫ 2π
0
∫ 2π
0
a
cos 2w dw
r
∫ 2π
(1 + e cos w) cos 2w dw
0
(1 + e cos w) dw
Ainsi, le terme en cos 2ω disparaît de l’expression (5.54), et la partie U J2 indépendante de M est donc réduite à :
a 2 (
e 1
U J2 (a, e, i, −, −, −) = µ J 2
a 3 2 − 3 )
4 sin2 i (1 − e 2 ) −3/2 (5.55)
Plus généralement, on procéderait de la même façon pour calculer le terme indépendant de M dans la partie
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