Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.2 • Page 273 de 396
n ′2
0 a ′3
0 on a :
n ′ 0
a ′2
0
= n 0
a 2 0
( a0
a ′ 0
) 7/2
=
n 0
a 2 0
( n
′
0
n 0
) 5/3
Donc, doubler le demi-grand axe revient à diviser ces vitesses par 2 7/2 = 11, 3. On voit bien ici que la forme de la
Terre a de l’influence essentiellement sur les satellites proches. Pour un satellite géostationnaire (a 0 = 6, 6 a e ), on
calcule que n Ω est de l’ordre de −50 ′′ par jour tandis que pour la Lune (a 0 = 60 a e ), il vaut seulement −7 ′′ , 5 par
an ! (ce très petit mouvement du nœud de la Lune est d’ailleur masqué par des perturbations analogues provenant
de l’action du Soleil et qui atteignent −190 ′′ par jour)
Remarque 2. Les vitesses du nœud et du périgée sont inversement proportionnelles au carré du paramètre
moyen de l’orbite : a 0 (1 − e 2 0)
Remarque 3. Suivant le signe de n Ω , le nœud moyen (¯Ω) rétrograde ou avance : il rétrograde pour i 0 < 90 ◦ , est
fixe pour i 0 = 90 ◦ et avance pour i 0 > 90 ◦ . La vitesse de rétrogradation du nœud est maximum pour i 0 = 0, mais
alors le nœud est lui-même indéterminé ! C’est donc au voisinage de i 0 = 0 que le nœud est le plus sensible à la
perturbation par J 2 . Pour des orbites basses, lorsque l’inclinaison i 0 est voisine de 100 ◦ , le nœud avance de 1 tour
par an, tout comme le Soleil autour de la Terre : de tels satellites sont sur une orbite dite orbite héliosynchrone.
Remarque 4. Le périgée avance par rapport au nœud si i 0 < i 1 = 63 ◦ 26 ′ ou si i 0 > 180 ◦ −i 1 = 116 ◦ 34 ′ (racines
de l’équation : 4 − 5 sin 2 i = 0). Il est fixe par rapport au nœud pour i 0 = i 1 ou 180 ◦ − i 1 ; il rétrograde si i 0 est
compris entre ces deux valeurs. La valeur i 1 = 63 ◦ 26 ′ ou son supplément est appelée inclinaison critique car au
voisinage de cette valeur, n ω peut être de l’ordre de J 2 2 , de sorte que si l’on intégrait le terme ¯nJ 4 P (¯x 1 ) cos 2¯ω
évoqué plus haut comme un terme à courte période, cela donnerait un terme d’ordre zéro en ε. On pourrait
rétorquer que ce terme en J 4 est hors de propos puisqu’on s’intéresse ici aux perturbations par le J 2 , mais on
verra que même avec le seul J 2 , à la deuxième approximation on trouvera des termes en ¯nJ 2 2 cos 2¯ω ; ceux-ci
ne peuvent être traités sans tenir compte en même temps du terme analogue provenant du J 4 . La méthode
développée ci-dessus ne doit donc pas être appliquée dans le voisinage de l’inclinaison critique : il est nécessaire
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