Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.3 • Page 393 de 396
au début de ce siècle, que le problème des N corps n’est pas intégrable : Il n’y a pas moyen de trouver une
solution générale qui soit valable sur une durée infinie. Néanmoins, pour le système des 4 grosses planètes du
système solaire (de Jupiter à Neptune), on a pu montrer que les termes résonnants sont extrêmement petits, et
qu’une solution générale construite suivant cette méthode peut rester valide pour plusieurs centaines de millions
d’années. Au contraire, J. Laskar (Bureau des Longitudes) a montré en 1990 que la solution analogue pour les 4
planètes intérieures (de Mercure à Mars), n’est pas stable au delà de 5 millions d’années, à cause de la présence
de résonances séculaires entre plusieurs des fréquences fondamentales (ces mêmes résonances interviennent
aussi dans les solutions relatives aux grosses planètes, mais associées à des termes pratiquement négligeables).
Ces derniers résultats ont été acquis, non par la construction d’une solution analytique puisqu’une telle solution
n’existe pas, mais par l’intégration numérique du système (6.174), avec ses 150 000 termes ! Comme le système
séculaire représente seulement les variations très lentes des éléments d’orbite, l’intégration numérique peut être
faite avec un pas très grand (500 ans par exemple pour les planètes) ; partant des conditions initiales actuelles, on
peut alors remonter le temps sur plusieurs dizaines de millions d’années et, par analyse de Fourier de la solution
numérique ainsi trouvée, on peut déterminer les fréquences fondamentales présentes dans la solution ; on a alors
trouvé l’impossibilité de représenter cette solution avec un ensemble unique de fréquences fondamentales sur
toute la durée de l’intégration : pour les planètes intérieures, on trouve des variations importantes des fréquences
en moins de 5 millions d’années, signe du caractère chaotique de la solution, puisque cela révèle l’impossibilité
de construire une solution quasi-périodique de t unique sur une très longue durée.
Voici, à titre d’exemple, les plus gros termes de la solution à très longues périodes, relative aux variables ẑ et
ˆζ de Jupiter et de Saturne, rapportée à l’écliptique et à l’équinoxe pour la date J2000, et pour t mesuré à partir de
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