Cours de Mécanique céleste classique

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13.6. Développement de ( r a
) n
exp imw en coefficients de Hansen
On pourrait calculer ce développement en multipliant entre elles les puissances convenables des développements
de a/r, de r/a et de (r/a) exp iw. On peut aussi écrire ce développement directement sous la forme :
( r
a) n
exp imw =
+∞
∑
k=−∞
X n,m
k
(e) exp ikM (3.134)
Les fonctions X n,m
k
(e) sont les coefficients de Hansen, fonctions de l’excentricité dont les principales propriétés
sont :
– X n,m
k
(e) = X n,−m
−k
(e) (il suffit d’exprimer le conjugué de ( r
) n
a exp −imw)
– X n,m
k
(e) = e |m−k| Y n,m
k
(e 2 ) où la fonction Y n,m
k
(e 2 ) est paire et d’ordre zéro en excentricité. Ceci
traduit simplement la propriété de d’Alembert de rang m et découle de la forme du développement des
fonctions de Bessel.
Voir aussi comment calculer ces coefficients de Hansen avec Maple
On calcule les coefficients de Hansen grâce au théorème de Fourier :
X n,m
k
(e) = 1
2π
∫ 2π
0
( r
a
) n+1
exp imw exp −ikM
a
r dM
Or, avec : q = (1 − √ 1 − e 2 )/e, soit aussi : e = 2q/(1 + q 2 ), on peut écrire :
exp iw = exp iE(1 − q exp −iE)(1 − q exp iE) −1 d’après (3.132a)
r
a = 1 − e cos E = 1 − q
1
2
(exp iE + exp −iE) =
2
(1 − q exp iE)(1 − q exp −iE)
1 + q 1 + q
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