Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.4 • Page 202 de 396
k
où ψ représente l’angle ̂QOP . Ce développement
converge absolument pour
r > ϱ. Or, dans le triangle sphérique
KQP ′ , on a : cos ψ =
sin θ sin ϕ + cos θ cos ϕ cos(λ − l), et
ainsi on obtient, d’après la formule d’addition
des polynômes de Legendre (4.23) :
i
K
O
l
Q
P ′
ψ ϕ
θ
λ − l
P
j
dU 2 (r, λ, ϕ) = Kdm
r
∞∑
n∑
n=0 p=0
P n (p) (sin ϕ) (
α np ϱ n
r n P n (p) (sin θ) ) cos p(λ − l)
Il faut maintenant intégrer pour tous les point Q de S ; en intégrant le développement terme à terme, on
obtient :
U 2 (r, λ, ϕ) = K ∞∑ n∑ P (p) [ ∫
n (sin ϕ)
α np
r
r n cos pλ ϱ n P n
(p) (sin θ) cos pl dm
n=0 p=0
Q∈S
∫
] (4.26)
+ sin pλ ϱ n P n
(p) (sin θ) sin pl dm
Il reste alors à calculer des intégrales de la forme :
∫
∫
a np = ϱ n P n (p) (sin θ) cos pl dm et b np =
Q∈S
Q∈S
Q∈S
ϱ n P n
(p) (sin θ) sin pl dm
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