Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 14.0.0 • Page 180 de 396
14. Annexe : formulaire de Brumberg pour les coefficients de Hansen
D’un point de vue pratique, il vaut mieux calculer les coefficients de Hansen X n,m
k
(e) définis en (3.134) avec Dev2.2.8
le formulaire suivant, dû à Brumberg, plutôt que par l’expression générale donnée en (3.135). Ce formulaire
utilise la fonction hypergéométrique de Gauss F (a, b, c ; x) et des polynômes P s
(n,m) (x).
Les fonctions hypergéométriques sont définies par :
F (a, b, c ; x) =
dépendant des coefficients de Pochhammer définis par :
∞∑
k=0
(a) k (b) k
(c) k
x k
k!
(3.152)
(a) 0 = 1 et (a) k = a(a + 1) · · · (a + k − 1) = (a + k − 1)(a) k−1 (3.153)
On a en particulier : (1) k = k!
Si on a c − a − b > −1 , la série (3.152) converge pour |x| < 1 et sinon, on utilise cette formule due à Euler
qui met en évidence le pôle de la fonction hypergéométrique :
F (a, b, c ; x) = (1 − x) c−a−b F (c − a, c − b, c ; x) (3.154)
Pour s entier positif ou nul, les polynômes P (n,m)
s (x) sont définis par :
P (n,m)
s (x) =
où la borne supérieure r ∗ est donnée par :
{
r ∗ = min{s, n − m + 1} si n − m + 1 ≥ 0
s si n − m + 1 < 0
r ∗ ∑
r=0
(−n + m − 1) r
(1) r
x s−r
(1) s−r
(3.155)
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