Macroeconomia. 7Ed. Parkin, 2007

A PÉNDICE: LAS GRÁFICAS EN LA ECONOMÍA 25
En la gráfica (b), cuando la variable x aumenta de
2 a 6, la variable y disminuye de 6 a 3. El cambio
de y es menos 3; es decir, y es –3. El cambio de x
es de más 4; es decir, x es 4. La pendiente de la curva es
∆y
.
∆x = −3
4
FIGURA A1.10
y
8
7
Pendiente en un punto
Advierta que las dos pendientes tienen la misma
magnitud ( 3 / 4 ), pero la pendiente de la línea en la gráfica
(a) es positiva (3/4 3 / 4 ), en tanto que en la
gráfica (b) es negativa (3/4 3 / 4 ). La pendiente
de una relación directa es positiva; la pendiente de una
relación inversa es negativa.
6
5
4
3
Pendiente = — 3 4
A
∇
y = 3
La pendiente de una línea curva
La pendiente de una línea curva es más difícil debido
a que no es constante: depende de la parte de la curva
en donde se calcula. Existen dos formas de calcular la
pendiente de una línea curva: en un punto o en un arco
de la línea. Veamos las dos alternativas.
Pendiente en un punto Para calcular la pendiente
en un punto sobre una curva, es necesario trazar una
línea recta que tenga la misma pendiente que la curva
en el punto en cuestión (es decir, la línea tangente).
La figura A1.10 muestra cómo se hace esto. Suponga
que quiere calcular la pendiente de la curva en el
punto A. Coloque una regla sobre la gráfica de tal
manera que toque el punto A y ningún otro punto
sobre la curva, trace entonces una línea recta a lo
largo del borde de la regla. La línea recta en rojo es
esta línea y es tangente a la curva en el punto A. Si
la regla toca la curva sólo en el punto A, entonces la
pendiente de la curva en el punto A debe ser la
misma que la pendiente del borde de la regla. Si
la curva y la regla no tienen la misma pendiente, la
línea a lo largo del borde la regla estará cortando
la curva en vez de sólo tocarla.
Ahora que ha encontrado una línea recta con la misma
pendiente que la curva en el punto A, puede calcular
la pendiente de la curva en el punto A, calculando la
pendiente de la línea recta. A lo largo de la línea recta,
conforme x aumenta de 0 a 4 (x 4), la variable y
aumenta de 2 a 5 (y 3). Por consiguiente la pendiente
de la línea es
∆y
.
∆x = 3 4
Por lo tanto, la pendiente de la curva en el punto
A es 3 / 4 .
2
1
0
∇
x = 4
1 2 3 4 5 6 7 8
Para calcular la pendiente de una curva en el punto A,
trace la línea roja que apenas toca a la curva en el punto
A: la tangente. La pendiente de esta línea recta se calcula al
dividir el cambio en y entre el cambio en x a lo largo de la
línea. Cuando x aumenta de 0 a 4, x es igual a 4. Ese cambio
de x está asociado con un aumento de y de 2 a 5, así
que y es igual a 3. La pendiente de la línea roja es 3 / 4 .
Así que la pendiente de la curva en el punto A es 3 / 4 .
Pendiente de un extremo a otro de un arco
Un arco de una curva es un segmento de la misma
curva. En la figura A1.11 usted ve la misma curva
de la figura A1.10. Pero en vez de calcular la pendiente
en el punto A, calcularemos la pendiente de
un extremo al otro del arco de B a C. Usted puede
ver que la pendiente en B es más grande que la pendiente
en C. Cuando calculamos la pendiente de un
extremo a otro de un arco, estamos calculando la
pendiente promedio entre dos puntos. Conforme
nos movemos a lo largo del arco de B a C, x aumenta
de 3 a 5 y la variable y aumenta de 4 a 5.5. El
cambio de x es 2 (x 2) y el cambio de y es 1.5
(y 1.5). Por consiguiente la pendiente de la
línea es
∆y
.
∆x = 15 .
= 3
2 4
Así que la pendiente de la curva a través del arco
BC es 3 / 4 .
x