Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

87
En los problemas 51 a 54, halle la derivada indicada.
51. y = 3x 4 – 2x 2 + x – 5; y Respuesta: y = 72x
52. y = 1 ; y (4) Respuesta: y
x
( 4)
=
105
/
16x
53. f( x) = 2−3x
2 ; f (x) Respuesta: f ( x)
6
( 2
3x
2 ) 3/
2
54. y =
x
x − 1 ; y Respuesta: y 4 x
4x
1 52
En los problemas 55 y 56, halle una fórmula para la n-ésima derivada.
92
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
55. y = 1 2
x
Respuesta: y n
( n) ( ) [( n )!]
= − 1 + 1
n+
2
x
56. f( x)=
1
3x
+ 2
( n
Respuesta: f )
( x) = ( −1)
n
n
3 ( n!)
n+
( 3x
+ 2)
1
57. Si y = f (u) y u = g(x), demuestre que
a)
b)
2
dy
2
dx
dy
du
2
du
2
dx
2
dy
2
du
du
dx
3
dy dy 3 2
du dy 2
3
du du dy
3
3
3
2
2
dx du dx du dx dx d u
3
2
du
dx
3
58. A partir de dx
2
=
1 , derive
dx
dy y ′ dy
y
( y)
2 3
y dx 3
2
3( y′′ ) − y′ y′′′
3
=
5 .
dy ( y′
)
En los problemas 59 a 64, determine si la función dada tiene inversa; si la tiene, halle una fórmula para la
inversa f –1 y calcule su derivada.
59. f (x) = 1/x Respuesta: x = f –1 (y) = 1/y; dx/dy = –x 2 = –1/y 2
1
60. f( x)= 3 x+
4 Respuesta: x = f –1 (y) = 3y – 12; dx/dy = 3.
61. f( x)= x−5 Respuesta: x = f –1 (y) = y 2 + 5; dx/ dy = 2y = 2 x −5
62. f (x) = x 2 + 2 Respuesta: no tiene función inversa.
63. f (x) = x 3 Respuesta: x = f −1 () y = 3 y; dx =
1
=
1 −
2
y
dy 3x
3
23 /
64. f( x)=
2x
− 1
x + 2
−1
2y
+ 1
Respuesta: x = f () y =− ; dx =
5
y − 2 dy ( y − 2)
2