Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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y
8. Resuelva x
x ydx xdy y
sen ( + ) + cos (
x xdy−
ydx ) =0 .
La ecuación es homogénea de grado dos. La transformación y = vx, dy = v dx – x dv resulta en
x sen v(vx dx + x 2 dv + vx dx) + vx cos v(x 2 dv + vx dx – vx dx) = 0
o sen v(2v dx + x dv) + xv cos v dv = 0
senv + vcosv o
d v + 2
dx
= 0
vsenv
x
y
Entonces, ln|v sen v| + 2 ln|x| = ln C', de manera que x 2 v sen v = C y xysen = C.
x
CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
9. Resuelva (x 2 – 2y 2 )dy + 2xy dx = 0.
La ecuación es homogénea de grado dos y la transformación estándar resulta en
(1 – 2v 2 )(v dx + x dv) + 2v dx = 0
o
o
2
1−
2v
2
v + = 0
v( 3−
2v
) d dx
x
dv
4v
dv
−
dx
2
+ = 0
3v
33 ( − 2v
) x
La integración resulta en 1 1 2
3 ln | v| + 3 ln | 3− 2v
| + ln | x| = lnc, lo cual puede escribirse como ln|v| + ln|3 – 2v 2 |
+ 3 ln|x| = ln C'. Entonces, x 3 (3 – 2v 2 ) = C y y(3x 2 – 2y 2 ) = C.
10. Resuelva (x 2 + y)dx + (y 3 + x)dy = 0.
Integre x 2 dx + (y dx + x dy) + y 3 dy = 0 término a término para obtener
3 4
x y
+ xy + = C
3 4
11. Resuelva (x + e –x sen y)dx – (y + e –x cos y)dy = 0.
Integre x dx – y dy – (e –x cos y dy – e –x sen y dx) = 0 término a término para obtener
x
x − y − e −
sen y=
C
1
2
2 1
2
2
12. Resuelva x dy – y dx = 2x 3 dx.
La combinación x dy + y dx sugiere d
y xdy ydx
x
2 . Por tanto, multiplicando la ecuación dada por
x
( x)
1 2 se obtiene xdy − ydx
2
= 2 xdx, de donde
x
x
y
x
= x
2 + C o y = x3 + Cx
13. Resuelva x dy + y dx = 2x 2 y dx.
xdy+
ydx
La combinación x dy + y dx sugiere d(ln xy) = . Por ende, al multiplicar la ecuación dada por
xy
( xy , ) 1 se obtiene xdy + ydx = 2 xdx, de donde ln|xy| = x
xy
xy
2 + C.