Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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EJEMPLO 2.3.
⎛
a) El punto medio del segmento que une (2, 9) y (4, 3) es 2 + 4 9 + 3⎞
⎜ , ⎟ = ( 3, 6)
.
⎝ 2 2 ⎠
51
1
4
b) El punto intermedio entre (–5, 1) y (1, 4) es , 2 ,
2 2
5 2 .
Demostraciones o pruebas de los teoremas geométricos
Demostraciones de los teoremas geométricos pueden darse más fácilmente usando las coordenadas que mediante
deducciones a partir de axiomas y teoremas derivados con anterioridad. Las pruebas o demostraciones
mediante coordenadas se denominan analíticas, a diferencia de las pruebas a partir de axiomas, que se llaman
sintéticas.
EJEMPLO 2.4. Pruebe analíticamente que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo
equivale a la mitad de la longitud del tercer lado. Construya un sistema de coordenadas de manera que el tercer lado
AB quede en el eje x positivo, A sea el origen y el tercer vértice C quede por encima del eje x como en la figura 2.7.
y
CAPÍTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares
M 1
M 2
C(u, v)
(0, 0)
A
B
(b, 0)
x
Fig. 2.7
Sea b la coordenada x de B (en otras palabras, sea b= AB ). Tenga C las coordenadas (u, v). Sean M 1 y M 2 los
puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de M 1
son ( u 2 , v ) 2 y las de M 2 son
( u+
b ,
2 v 2)
. Mediante la fórmula de la distancia (2.1)
MM
1 2
que es la mitad de la longitud del lado AB.
2 2 2
⎛u u b b
= − + ⎞ ⎛v v⎞
⎛ ⎞ b
⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠
⎝ 2⎠ 2 ,
PROBLEMAS RESUELTOS
2 2
1. Demuestre que la distancia entre un punto P(x, y) y el origen es x + y .
Como el origen tiene coordenadas (0, 0), la fórmula de la distancia da ( x− 0) 2 + ( y− 0) 2 = x 2 + y
2 .
2. ¿El triángulo con vértices A(1, 5), B(4, 2) y C(5, 6) es isósceles?
2 2 2 2
AB = ( 1−
4) + ( 5 − 2) = ( −3) + ( 3)
= 9+
9=
18
AC =
( 1−
5)
5 6 4 1 16+
1 17
2 2 2 2
+ ( − ) = ( − ) + ( − ) = =
2
2 2 2
BC = ( 4−
5) + ( 2 −6)
= ( −1)
+ ( − 4)
= 1+
16 = 17
Como AC= BC, el triángulo es isósceles.