Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Funciones compuestas. La regla de la cadena
La función compuesta f g de las funciones g y f se define así: (f g)(x) = f (g(x)). La función g se aplica primero
y luego f g se denomina función interna y f función externa. f g se conoce como la función compuesta de g
y f.
EJEMPLO 10.2.
Sea f (x) = x 2 y g(x) = x + 1. Entonces:
(f g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1
(g f)(x) = g(f (x)) = g(x) 2 = x 2 + 1
Así, en este caso, f g g f.
Cuando f y g son diferenciables también lo es su compuesta f g. Hay dos procedimientos para hallar la
derivada de f ° g. El primer método consiste en calcular una fórmula explícita para f (g(x)) y derivarla.
EJEMPLO 10.3.
Por tanto, D x (f g) = 8x + 4.
Si f (x) = x 2 + 3 y g(x) = 2x + 1, entonces:
y = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1) 2 + 3 = 4x 2 + 4x + 4 y
dy
= 8x
+ 4
dx
El segundo método para calcular la derivada de una función compuesta se basa en la regla siguiente.
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
Regla de la cadena
D x (f (g(x))) = f (g(x)) g(x)
Entonces, la derivada de f g es el producto de la derivada de la función externa f (evaluada en g(x)) y la derivada
de la función interna (evaluada en x). Se presupone que g es diferenciable en x y que f es diferenciable
en g(x).
EJEMPLO 10.4.
En el ejemplo 10.3, f (x) = 2x y g(x) = 2. Así, por la regla de la cadena,
D x (f (g(x))) = f (g(x)) g(x) = 2g(x) 2 = 4g(x) = 4(2x + 1) = 8x + 4
Formulación alternativa de la regla de la cadena
Sea u = g(x) y y = f (u). Entonces, la función compuesta de g y f es y = f (u) = f (g(x)), y se tiene la fórmula
dy
dx
= dy du
du dx
(Regla de la cadena.)
EJEMPLO 10.5.
Sea y = u 3 y u = 4x 2 – 2x + 5. Así, la función compuesta y = (4x 2 – 2x + 5) 3 tiene la derivada
dy
dx
dy du 2 2 2
= = 3u ( 8x− 2) = 3( 4x − 2x+ 5) ( 8x−2)
du dx
Advertencia: en la formulación alternativa de la regla de la cadena, dy du
du dx
, la y de la izquierda representa la función
compuesta de x, mientras que la y de la derecha señala la función original de u. Asimismo, las dos ocurrencias
de u tienen significados diferentes. Esta confusión de notación se compensa con la simplicidad de la formulación
alternativa.
dx = dy
Funciones inversas
Dos funciones f y g tales que g(f (x)) = x y f (g(y)) = y son funciones inversas. Estas funciones invierten el efecto
una de la otra. Dada una ecuación cualquiera y = f (x), se puede hallar una fórmula para la inversa de f despejando
x en la ecuación en términos de y.