Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

407
19. Determine si las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de Laplace 2
2
z z
2
x
y
a) z = e x 1
cos y b) z = e x + y
2 ( ) c) z = x 2 – y 2
a)
b)
2
z x
e cos y,
z
2
e
x
x
cos y
2
z x
e sen y,
z
2
y
y
e x
cos y
Entonces, 2
2
z z
2
x
y
x
2
0
2
z 1 xy
e
z x y
( ),
1
2
( e )
x 2 x
2
z
2
1 xy
e
y 2 ( ),
z
2
1
( e
y
2
x y )
Entonces, 2
2
z z
2 2
e 0
x
y
x y .
.
2
0
:
CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
c)
2
z
2x,
z
2
2
x x
z
2
2y,
z
2
2
y y
Entonces, 2
2
z z
2
x
y
2
0
.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 20 a 24, evalúe los límites dados.
20. lím
( x, y) ( 12 , )
x
2y
2
x y
Respuesta: − 5 3
21. lím
( x, y) ( 0, 0)
x
y
x y
2 2
Respuesta: sin límite
22. lím
( x, y) ( 0, 0)
3xy
2x
y
2 2
Respuesta: sin límite
23. lím
( x, y) ( 0, 0)
2
xy
2 4
Respuesta: sin límite
x y
24. lím
( x, y) ( 0, 0)
2 2
x y
2 2
x y 42
Respuesta: 4
25. Determine si cada una de las funciones siguientes puede definirse en (0, 0) de manera que sean continuas:
a)
2
y
2 2
x + y
b) x − y
x+
y
c) x + y
x + y
3 3
2 2
d)
x+
y
x + y
2 2
Respuestas: a) no; b) no; c) sí; d) no.