Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La integral triple
Sea f(x, y, z) una función continua en una región tridimensional R. La definición de integral doble puede extenderse
de forma obvia para obtener la definición de la integral triple
Si f(x, y, z) = 1, entonces
f( x, y, z)
dV
R
f( x, y, z)
dV puede interpretarse como la medida del volumen de la región R.
R
Cálculo de integrales triples
Como en el caso de las integrales dobles, una integral triple puede calcularse en términos de integrales iteradas.
En coordenadas rectangulares,
CAPÍTULO 57 Integrales triples
∫∫∫
R
∫
b
y ( x)
z ( x, y)
2 2
f ( x, y, z) dV = ∫ f ( x, y, z)
dz dy dx
1
∫
a
∫
y1 ( x )
z ( x, y)
d x2 ( y)
z2
( x, y)
= f ( x, y, z) dz dx dy,
etcétera
c
∫
x1
( y)
∫
z1
( x, y)
donde los límites de integración se seleccionan de modo que abarquen la región R.
En coordenadas cilíndricas,
R
r ( )
z ( r, )
2 2
f(, r , z) dV fr (, , zrdzdrd )
1
r1 ( )
z ( r, )
donde los límites de integración se eligen para abarcar la región R (véase el problema 23).
En coordenadas esféricas,
( ) 2 ( ,
)
( )
1 1
( , )
R
2
2
f( , , ) dV f( , , ) sen
d d d
donde los límites de integración se seleccionan de modo que cubran la región R (véase el problema 24).
Análisis de las definiciones: considere la función f(x, y, z), continua sobre una región R de espacio ordinario.
Después de cortar los planos x = x i y y = h j como en el capítulo 54, se vuelven a cortar estas subregiones
mediante planos z = z k . La región R ahora se ha dividido en cierto número de paralelepípedos rectangulares de
volumen V ijk = x i y j z k y un número de paralelepípedos parciales que se ignorarán. En cada paralelepípedo
completo se selecciona un punto P ijk (x i , y j , z k ); luego se calcula f(x i , y j , z k ) y se forma la suma
∑ f( xi, yj, zk) ΔVijk
= ∑ f(
xi,
y , z ) Δx Δy Δz
i=
1, …,
m
j=
1, …,
n
k=
1, …,
p
i=
1, …,
m
j=
1, …,
n
k=
1, …,
p
j k i j k
(57.1)
La integral triple de f(x, y, z) sobre la región R se define como el límite de (57.1) cuando el número de paralelepípedos
crece indefinidamente, de forma tal que todas las dimensiones de cada uno de ellos tienden a cero.
Al calcular este límite, se puede sumar primero cada conjunto de paralelepípedos que tienen i x y j y, para
i y j fijos, como dos dimensiones y considerar el límite cuando cada k z 0. Se obtiene
p
2
lím f( xi, yi, zk) kzix jy
f( xi, yi, z)
dz
p z
ix jy
k 1
Ahora estas son las columnas, las subregiones básicas, del capítulo 54; por tanto,
lím f( x , y , z ) V
m
n
i1, ,
m
p
j1,
, n
k1, ,
p
i j k ijk
R
z
1
f ( x, y, z) dz dx dy f ( x, y, z)
dz dy dx
R