Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Funciones
Se dice que una cantidad y es una función de otra cantidad x si el valor de y queda determinado por el valor de
x. Si f simboliza la función, entonces la dependencia de y en x se indica mediante la fórmula y = f(x). La letra x
se denomina variable independiente y la letra y variable dependiente. La variable independiente también recibe
el nombre de argumento de la función y la variable dependiente valor de la función.
Por ejemplo, el área A de un cuadrado es una función de la longitud s de un lado del cuadrado, y esa función
puede expresarse mediante la fórmula A = s 2 . En este caso, s es la variable independiente y A la variable
dependiente.
El dominio de una función es el conjunto de números al que puede aplicársele la función, es decir, el conjunto
de números que se asignan a la variable independiente. El rango de una función se refiere al conjunto de
números que la función asocia con los números del dominio.
EJEMPLO 6.1. La fórmula f(x) = x 2 determina una función f por medio de la cual a cada número real x se asigna
su cuadrado. El dominio consta de todos los números reales. Se puede observar que el rango comprende todos los
números reales no negativos. De hecho, cada valor x 2 es no negativo. Recíprocamente, si r es cualquier número real
no negativo, entonces r aparece como un valor cuando la función se aplica a r, como r = ( r) 2 .
EJEMPLO 6.2.
Sea g la función definida por la fórmula g(x) = x 2 – 4x + 2 para todos los números reales. Luego,
g(1) = (1) 2 – 4(1) + 2 = 1 – 4 + 2 = –1
y
g(–2) = (–2) 2 – 4(–2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14
También, para cualquier número a, g(a + 1) 2 – 4(a + 1) + 2 = a 2 + 2a + 1 – 4a – 4 + 2 = a 2 – 2a – 1.
EJEMPLO 6.3. a) Sea la función h(x) = 18x – 3x 2 definida para todos los números reales x. Entonces, el dominio
es el conjunto de todos los números reales. b) El área A de cierto rectángulo, uno de cuyos lados tiene longitud x, se
calcula con A = 18x – 3x 2 . Tanto x como A deben ser positivas. Ahora, al completar el cuadrado se obtiene
A = –3(x 2 – 6x) = –3[(x – 3) 2 – 9] = 27 – 3(x – 3) 2
Como A > 0, 3(x – 3) 2 < 27, (x – 3) 2 < 9, x – 3 < 3. Por ende, –3 < x – 3 < 3, 0 < x < 6. Luego, la función que
determina A tiene en su dominio el intervalo abierto (0, 6). La gráfica de A = 27 – 3(x – 3) 2 es la parábola que aparece
en la figura 6.1. A partir de la gráfica se observa que el rango de la función es el intervalo semiabierto (0, 27).
Así, la función del inciso b) está dada por la misma fórmula que la función del inciso a), pero el dominio de la
primera es un subconjunto apropiado del dominio de la segunda.
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