Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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⎧4− x si x<
3
⎪
c) f (x) = x– x d) f ( x) = ⎨x− 2 si 0< x<
3
⎩⎪ x−1 si x≤0
4
3 2
e) f( x)=
x − 1
2
f) f( x)=
x + x − 17x+
15
2
x − 1
x + 2x−15
g) f (x) x 3 2
7x h) f( x)=
x − 4
2
x − 5x+
6
2
i) f( x)=
x + 3x+
2
2
j) f( x)=
x − 2
2
x + 4x+
3
x − 4
k) f( x)=
x − 1
2
x + 3 −2
Respuestas:
a) Discontinuidad removible en x = –2. [Observe que x 2 – 3x – 10 = (x + 2)(x – 5).]
b), c), g) Ninguna
d) Discontinuidad de salto en x = 0
e) Discontinuidades removibles en x = 1
f) Discontinuidades removibles en x = 3, x = –5. [Observe que x 2 + 2x – 5 = (x + 5)(x – 3) y x 3 + x 2 – 17x +
15 = (x + 5)(x – 3)(x – 1).]
h) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = 3
i) Discontinuidad removible en x = –1 y discontinuidad no removible en x = –3
j) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = –2
k) Discontinuidad removible en x = 1 y discontinuidad no removible en x = –1
CAPÍTULO 8 Continuidad
5. Demuestre que f (x) = |x| es continua.
6. Si la figura 8.5a) es la gráfica de f ( x)=
x
2 − x−
x
4 − 7
21 , demuestre que existe una discontinuidad removible en
x = 7 y que allí c = 10.
7. Pruebe: si f es continua en el intervalo [a, b] y c es un número en (a, b) tal que f (c) < 0, entonces existe un
número positivo tal que, siempre que c – < x < c + , entonces f (x) < 0.
(Sugerencia: aplique el teorema 8.8a -f.)
8. Trace las gráficas de las funciones siguientes y determine si son continuas en el intervalo cerrado [0, 1]:
⎧− 1 si x < 0
⎪
⎧⎪
1
si x > 0
a) f( x)=
⎨ 0 si 0≤
x ≤1
b) f( x)=
⎨ x
⎩⎪ 1 si x > 1
⎩⎪ 1 si x ≤ 0
c) f ( x x
x )= − 2
⎧ si ≤ 0
⎨ 2
⎩ x si x > 0
d) f (x) = 1 si 0 < x 1
⎧x
si x≤
0
⎪
e) f( x)=
⎨0 si 0< x < 1
⎩⎪ x si x≥
1
Respuestas: a) Sí; b) No, no es continua a la derecha en 0; c) Sí; d) No, no está definida en 0; e) No, no es
continua a la izquierda en 1.