Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 14 a 16, halle ds
dx y ds
dy .
14. x 2 + y 2 = 25 Respuesta:
15. y 2 = x 3 Respuesta:
ds
dx
ds
dx
=
5
2
25 − x
, ds =
dy
= 1 4 + 9 x , ds =
2 dy
5
2
25 − y
4+
9y
13 /
3y
23 /
CAPÍTULO 38 Curvatura
16. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 Respuesta:
En los problemas 17 a 18, encuentre ds
dx .
17. 6xy = x 4 + 3 Respuesta:
18. 27ay 2 = 4(x – a) 3 Respuesta:
En los problemas 19 a 22, encuentre ds
dt .
ds
= ( ax / )
dx
13 / , ds ⎛ a ⎞
=
dy ⎝ y ⎠
ds
dx
ds
dx
4
=
x + 1
2
2x
= ( x+
2a)/
3a
13 /
19. x = t 2 , y = t 3 Respuesta: t 4+
9t
2
2
20. x = 2 cos t, y = 3 sen t Respuesta: 4+ 5cos t
21. x = cos t, y = sen t Respuesta: 1
22. x = cos 3 t, y = sen 3 t Respuesta: 3 2 sen 2t
23. Halle la curvatura de cada curva en los puntos dados:
a) y = x 3 /3 en x = 0, x = 1, x = –2 b) x 2 = 4ay en x = 0, x = 2a
c) y = sen x en x = 0, x = 1 2 π d) y= e x2
en x = 0
Respuestas: a) 0, 2/ 2, −4 17 / 289; b) 1/2a, 28 / a; c) 0, –1; d) –2
24. Demuestre: a) que la curvatura de una línea recta es 0; b) que la curvatura de un círculo es numéricamente el
recíproco de su radio.
25. Determine los puntos de máxima curvatura de a) y = e x ; b) y= 1 3 x 3
.
Respuesta: a) x =− 1 2 ln 2; b) x = 1
26. Halle el radio de la curvatura de
5 14 /
a) x 3 + xy 2 – 6y 2 = 0 en (3, 3).
b) x = 2a tan , y = a tan 2 en (x, y).
c) x = a cos 4 , y = a sen 4 en (x, y).
Respuestas: a) 5 5; b) 2a sec 3 ; c) 2a(sen 4 + cos 4 ) 3/2