Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Para evitar la repetición de signos ambiguos, se supondrá de aquí en adelante que la dirección en cada arco
se ha fijado de manera que la derivada de la longitud de arco sea positiva.
Curvatura
La curvatura K de una curva y = f(x) en cualquier punto P de ella se define como la razón de cambio de la
dirección de la curva en P, es decir, del ángulo de inclinación de la tangente en P, respecto a la longitud del
arco s (fig. 38.2). Intuitivamente, la curvatura indica cuán rápido está girando la tangente. Así, la curvatura es
grande cuando la curva se dobla de forma pronunciada.
y
CAPÍTULO 38 Curvatura
Q
A
s
P
s
O
x
Como fórmulas de curvatura se obtienen:
o en términos de y,
Fig. 38.2
2
K d dy
τ Δτ
2
= = lím = dx
ds Δs→
Δs
⎛ dy
+ ⎛ ⎞ ⎞
(38.1)
0
2
3/2 ⎝
⎜1
⎝ dx ⎠ ⎠
⎟
2
dx
− 2
dy
K =
dx
+ ⎛ 2
32 /
(38.2)
⎛ ⎞ ⎞
⎝
⎜1
⎝ dy⎠
⎠
⎟
Para ver una demostración repase el problema 13.
K se define a veces como positiva. Si suponemos esto, entonces el signo de K debería ignorarse en lo sucesivo.
El radio de curvatura
El radio de curvatura R en el punto P sobre una curva se define mediante R = 1 , siempre que K 0.
K
El círculo de curvatura
El círculo de curvatura, o círculo osculador de una curva en el punto P, es el círculo de radio R, que se encuentra
en el lado cóncavo de la curva y tangente a P (fig. 38.3).
y
C
R
O
P
Fig. 38.3
x