Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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9. Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 pies, y el ángulo que forman es de 60º. Si los posibles errores son
0.2 pies al medir los lados y 1º en el ángulo, ¿cuál es el máximo error posible en el cálculo del área?
Aquí,
A
1
xysen , A
y
A
x
A
x
1
sen ,
y
1
sen,
2
2
2
1
xy cos
2
y
dA ysendx x sendy xy cosd
1
2
1
2
1
2
Cuando x = 150, y = 200, = 60º, dx = 0.2, dy = 0.2 y d = 1º = /80, entonces,
dA = ( 200)(sen 60° )( 0. 2) + ( 150)(sen 60°
)( 0. 2) + ( 250)( 200)(cos 60° )( π / 180) = 161.
21 pies
1
2
1
2
10. Halla dz/dt, dado z = x 2 + 3xy + 5y 2 ; x = sen t, y = cos t.
Como
se tiene que
1
2
2
z
x y
z
x
x y
dx
y
dy
2 3 , 3 10 , cos t, dt dt
sent
dz
dt
= ∂ z
∂x
dx
dt
+ ∂ z
∂y
dy
dt
11. Halla dz/dt, dado z = ln(x 2 + y 2 ); x = e –t , y = e t .
Como
se tiene que
dz
dt
= ( 2x+ 3y)cos t − ( 3x + 10y)
sent
z
2x
z
2y
dx t
2 2
,
2 2
, e
,
x x y y x y dt
= ∂ z
∂x
dx
dt
+ ∂ z
∂y
dy
dt
dy
dt
t
e
t
x t
y
=
2 −
2
t
ye − xe
2 2
( − e ) +
2 2
e = 2
2 2
x + y x + y x + y
−t
CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
12. Encuentre dz
dx , dado z = f (x, y) = x2 + 2xy + 4y 2 , y = e ax .
dz
dx
dy
ax
= fx
+ fy
= ( 2x+ 2y) + ( 2x+ 8) ae = 2( x + y)
+ 2 a( x+ 4y)
e
dx
ax
13. Halle a) dz y b) dz
dx dy , dado z = f (x, y) = xy2 + yx 2 , y = ln x.
a) Aquí x es la variable independiente:
dz
dx
f f
= ∂ ∂ x
+ ∂ ∂y
dy
dx
b) Aquí y es la variable independiente:
dz
dy
f
= ∂ ∂x
dx
dy
= ( y 2 + 2xy) + ( 2xy+ x
2 )
1
= y +
x
2
2xy + 2y + x
f
+ ∂ y xy x xy x xy
∂ y
= ( 2 + 2 ) + ( 2 + 2)
= 2 + 2xy+ 2xy+
x
2 2
14. La altura de un cono circular recto es de 15 pulgadas y crece a razón de 0.2 pulgadas por minuto (pulg/min).
El radio de la base mide 10 pulgadas y disminuye a razón de 0.3 pulg/min. ¿Con qué rapidez está cambiando
el volumen?
Sea x el radio y y la altura del cono (figura 49.1). De V = 1 2
3 π x y, y considerando x y y como funciones de
tiempo t, se tiene que
dV
dt
= ∂ V
∂x
dx
dt
+ ∂ V
∂y
dy
dt
=
π
xy dx + x dy
3 2 2
=
π
− + =−
π
dt dt 3 210 15 03 10 2
[ ( )( )( . ) ( 02 . )]
70
pulgadas
3
3 /min