Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
Proyecciones escalar y vectorial
En la ecuación (39.1), el escalar a 1 se denomina proyección escalar de a sobre cualquier vector cuya dirección
sea la del eje x positivo, en tanto que el vector a 1 i es la proyección vectorial de a sobre cualquier vector cuya
dirección sea la del eje x positivo. En general, para cualquier vector b no cero y cualquier vector a, se define
a . b
como la proyección escalar de a en b, y a .
b b
como la proyección vectorial de a en b (repase el
|b|
|b| |b|
problema 7). Nótese que cuando b tiene la dirección del eje x positivo, b
|b|
Propiedad (39.15) a b es el producto de la longitud de a y la proyección escalar de b en a. De igual forma,
a b es el producto de la longitud de b y la proyección escalar de a en b (fig. 39.5).
= i.
b
b cos
a
Fig. 39.5
Derivación de funciones vectoriales
Considere que la curva de la figura 39.6 se define por las ecuaciones paramétricas x = f(u) y y = g(u). El vector
r = xi + yj = f(u)i + g(u)j
que une el origen al punto P(x, y) de la curva se denomina vector de posición o radio vector de P. Es una función
de u. [De aquí en adelante, utilizaremos la letra r exclusivamente para los vectores de posición. Así, a = 3i + 4j
es el vector “libre”, mientras que r = 3i + 4j es el vector que une el origen con P(3, 4).]
La derivada d r r( uu)
r( u)
de la función r respecto a u se define como lím
.
du
u0
u
El cálculo directo da:
dr
dx dy
= i+ j
(39.5)
du du du
Sea s la longitud de arco medida desde un punto fijo P 0 de la curva de manera que s aumenta con u. Si es
el ángulo que forma d r con el eje x positivo, entonces
du
dy dx dy
tan
du du dx
la pendiente de la curva en P
y
P 0
s
r
dy
du
j
dx
i
du
dr
du
O
x
Fig. 39.6