Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

221
Se obtiene lím
1
2cos2x
1 ()
2 1
3.
x0
1
2cos2x
1
2()
1
b) lím
e x 1
x0
2 .
x
x
x
Se obtiene lím
e 1
= lím
e
= +∞
x→0 + 2x
2
x→0
+ x
por el ejemplo 27.2.
x x 2
c) lím
e e x 2
.
x
sen
2 2
0 x
x
x x
x x
Se obtiene lím
e e 2x
lím
e e 2x
.
x0 2 sen x cos x
2x
x0
sen 2x
2x
Mediante la aplicación repetida de la regla de L’Hôpital se obtiene:
e
e
2
e e
x
x x
x x
lím lím
x 0 2 cos 2x
2 x0
4
sen 2
CAPÍTULO 27 Regla de L’Hôpital
x x
lím
e e
1 1
2
1
x0 8cos 2x
81
( ) 8 4
d) lím sen x
x
x .
Se obtiene lím
cos x
12 /
/
lím ( x ) co
x
12
2 s x 0.
1/
[ 2( x ) ] x
e) lím
ln sen x
.
x0
ln tan x
(cos x) /(sen x)
4
Queda lím = =
x→ + 2
lím cos x
0 (sec x) /(tan
x)
1.
x→ 0 +
f) lím cot x
.
x0 cot 2x
El uso directo de la regla de L’Hôpital
lím
cosec 2 x
2 cosec 2 (2x)
x0 x0
1
2 cosec 2 x (cot x)
4 lím
(cosec 2 (2x))(cot 2x)
lleva a límites aún más complicados, pero, si cambia de cot a tan, se obtiene
lím
cot = lím tan = lím
sec 2
x 2x
2 ( 2x)
= lím
cos 2
2
x
= 2 1 2
2
= 2
x→0 cot 2x
x→0 tan x x→0
sec x x→0
cos ( 2x)
1
2
g) lím x ln x.
x0
Éste es del tipo 0 . . Entonces, la regla de L’Hôpital puede aplicarse de la siguiente manera:
lím ln x
lím
1/
x
1 2
lím x
x 2
0 x x 3
1/
0 2/
x x0
2 0
h) lím ( 1 tan x)sec 2 x.
x / 4
Éste es del tipo 0 . . Sin embargo, es igual a
2
lím
1
tan x
lím
sec
x
2
x/ 4 cos2x
x/
4 2sen
2x
2
1
Aquí se utilizó el valor cos
1
4 2
.
i) lím
1
1
.
x0 x e x 1
Éste es del tipo – , pero resulta igual a
x
x
lím
e x
lím lím
x (
x
e
)
x x
xe x
xe e
x
1
1
e
1
1
x x
0 1 0 1 x0 xe 2e
0 2 2
j) lím(cosec x cot x).
x0
Éste es del tipo – , pero resulta igual a
lím
1
cos x
lím
1 cos x
lím
sen x
0
x0 sen x sen x x0
sen x x0
cos x
cos x
k) lím (tan x) .
x( / 2)
Éste es del tipo 0 . Sea y = (tan x) cos x , entonces ln y= (cos x)(ln tan x)
=
ln tan x
.
sec x