Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Así,
dx 1 1 1 1
1 1
2
dx x x
x 4 4 x 2 4 x
4 2
2
4 2
ln | | ln | | C
1
= 4 (ln| x−2| − ln| x+ 2|)
+ C
=
ln x −
+ C
x + 2
1
4
2
( x+
1)
dx
EJEMPLO 33.6. Resuelva
∫ 3 2
.
x + x −6x
Al factorizar el denominador se obtiene x(x 2 + x – 6) = x(x – 2)(x + 3). El integrando es
x + 1
. Se representa
de la forma
xx ( − 2)( x+
3) siguiente:
x + 1
=
A
+
B
+
C
xx ( − 2)( x+
3)
x x − 2 x − 3
Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x – 2)(x + 3):
Así,
x + 1 = A(x –2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x – 2) (2)
Sea x = 0 en (2): 1 = A(–2)(3) + B(0)(3) + C(0)(–2) = –6A. Luego, A =− 1 6.
Sea x = 2 en (2): 3 = A(0)(5) + B(2)(5) + C(2)(0) = 10B. Por ende, B = 3
10
.
Sea x = –3 en (2): –2 = A(–5)(0) + B(–3)(0) + C(–3)(–5) = 15C. Entonces, C =− 2
15
.
∫
( x+
1)
dx
= −
1 1
+
3 1
dx
x + x −6x 6 x x+ − 2 1
3 2
10 2 15 x+
3
∫ ( )
1
3
2
=− ln | x| + ln | x+ 2| − ln | x+ 3|
+ C
6
10
15
CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
Regla general para el caso I
Se representa el integrando como una suma de términos de la forma
A
por cada factor lineal x – a del denominador,
donde A es una constante desconocida. Se despejan las constantes. Al integrar se obtiene una suma
x−
a
de términos de la forma A ln |x – a|.
Observación: supóngase sin prueba alguna que el integrando siempre tiene una representación de la clase requerida.
Todo problema en particular puede comprobarse al final del cálculo.
Caso II
D(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se presentan más de una vez.
EJEMPLO 33.7. Halle ( 3x+
5)
dx
∫
.
3 2
x − x − x+
1
Primero se factoriza el denominador ‡ x 3 – x 2 – x + 1 = (x + 1)(x – 1) 2
Luego, se representa el integrando 3x
+ 5 como una suma, de esta forma:
3 2
x − x − x+ 1
3x
+ 5 A B C
x − x − x+ 1 = x + 1 + x − 1 + ( x − 1)
3 2 2
‡
Al tratar de hallar los factores lineales de un denominador que es un polinomio con coeficientes integrales, se prueba cada uno
de los divisores r del término constante para ver si es una raíz del polinomio. Si lo es, entonces x – r es un factor del polinomio.
En el ejemplo dado, el término constante es 1. Sus dos divisores, 1 y –1, resultan ser raíces.