Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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11. Esboce una comprobación de la fórmula (36.1).
Supóngase que [a, b] se divide en n subintervalos iguales. [x k–1 , x k ], cada uno de longitud x
b a
. El
n
área de superficie total S es la suma de las áreas de superficie S k creadas por los arcos entre los puntos [x k–1 ,
f(x k-1 )] y [x k , f(x k )], cada uno de los cuales es aproximado por el área de superficie generada por el segmento de
recta entre [x k–1 , f(x k–1 )] y [x k , f(x k )]. La última es el área de un tronco de un cono. En la notación de la figura
36.6, esto es, en virtud del problema 10b):
2 2 k1
f xk
k
k
1
f x f x x y
f x
2
2
x y
2 2
Ahora, f ( x f x
k−1) + ( k)
, donde el promedio de f(x k-1 ) y f(x k ) está entre estos dos valores y por el teorema del
2
*
y
*
valor intermedio, es igual a f ( x k ) para algún x k
en (x k-1 , x k ). También, x y 2
2 2
1
x
. Por
x
el teorema del valor medio, y
f x
x
# k para algún x# en (x , x ). Entonces, S se aproxima por la suma
k k-1 k
n
k1
2
k k
* #
2 f x 1 f x x
2
y es posible demostrar que esta suma puede realizarse arbitrariamente próxima a 2 fx 1 fx
dx. †
a
Por tanto, la última es igual a S.
(x k–1 , f(x k–1 ))
(x) 2 (y) 2
x
(x k , f(x k ))
y
b
CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución
x k–1 x k
x
Fig. 36.6
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 12 a 20, determine el área de la superficie de revolución creada cuando gira el arco indicado
alrededor del eje indicado.
2
12. y = mx de x = 0 a x = 2; eje x Respuesta: 4m
1
m
†
En general, puede probarse el resultado siguiente: teorema de Bliss. Sean f y g son continuas en [a, b]. Se divide [a, b] en
*
subintervalos [x k–1 , x k ], con a = x 0 < x 1 < … < x n < b y sea k x = x k – x k–1 . En cada [x k–1 , x k ], se escoge x k
y x # k
. Entonces, la
n
b
* #
suma de la aproximación fxkgxkk
x puede hacerse arbitrariamente próxima a
fxgxdx
cuando n + y
a
k1
haciendo que las longitudes máximas de los subintervalos tiendan a 0.