Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 9 La derivada
4. Halle la derivada de y = f (x) = x 2 + 3x + 5.
y = f (x + x) – f (x) = [(x + x) 2 + 3(x + x) + 5] – [x 2 + 3x + 5]
= [x 2 + 2xx + (x) 2 + 3x + 3x + 5] – [x 2 + 3x + 5] = 2xx + (x) 2 + 3x
= (2x + x + 3)x
Δy
= 2x+ Δ x+
3
Δx
dy
Por tanto, = lím ( 2x+ Δ x+ 3) = 2x+
3.
dx Δx→0
5. Encuentre la derivada de y = f( x)
=
1
en x = 1 y x = 3.
x − 2
x
xx
y f( xx) f( x)
1
1 ( 2) ( 2)
( x
x)
2
x 2 ( x2)( xx2)
x
( x2)( xx2)
y
1
x
( x
2)( x
x2)
Entonces,
dy
= lím
−1 =
−1
.
dx Δx→0
( x − 2 )( x + Δx −2
) ( x − )
2
2
En x = 1, dy
dx = −1
=−1. En x = 3, dy
( 1−
2) 2
dx = −1
=−1.
( 3−
2) 2
6. Halle la derivada de f ( x) =
2x
− 3
.
3x
+ 4
7. Halle la derivada de y = f( x) = 2x+
1.
2( x+ Δ x)
−3
f( x+ Δx)
=
3( x+ Δ x)
+ 4
2x
+ 2Δx
− 3
f( x+ Δx) − f( x)
=
−
2x − 3
3x+ 3Δ
x+
4 3 x + 4
( 3x+ 4)[( 2x− 3) + 2Δx]
−(2x− 3)[( 3x+ 4) + 3Δx]
=
( 3x+ 4)( 3x+ 3Δx+
4)
( 6x+ 8−6x+
9)
Δx
17Δx
=
=
( 3x+ 4)( 3x+ 3Δx
+ 4) ( 3x+ 4)( 3x+ 3Δx
+ 4)
f( x+ Δx) − f( x)
=
17
Δx ( 3x+ 4)( 3x+ 3Δx+
4)
f′ ( x) = lím
17
=
17
Δx→ 0 ( 3x+ 4) ( 3x+
3Δx + 4)
( 3x
+ 4)
y + Δy= ( 2x+ 2Δx+
1)
12 /
Δy= ( 2x+ 2Δx+ 1) − ( 2x+
1)
12 / 12 /
12
12 12
2 + 2 + 1 +
[( 2 2 1) ( 2 1) ] ( ) (
/ /
/
12 /
x x
)
x Δ x x
12 / 12 /
= + + − +
Δ 2x
+ 1
( 2x+ 2Δ
x+ 1) + ( 2x+
1)
( 2x+ 2Δ x+
1)
− ( 2x
+ 1)
2Δx
=
12 / 12 /
=
( 2x+ 2Δ
x+ 1) + ( 2x+
1) ( 2x+ 2Δ x+
1) + ( 2x
+ 1)
Δy
=
2
12 /
1/
Δx ( 2x+ 2Δ x+ 1) + ( 2x+
1)
dy
= lím
2
( )
12 / ( )
12 /
=
1
dx Δx→0
2x+ 2Δ x+ 1 + 2x+
1 ( 2x + 1) 12 /
2
2
12 / 12 /