Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 27 Regla de L’Hôpital
Por tanto,
lím ln y = lím
ln tan x
=
π −
π − sec x
lím
2
(sec x/ tan x) /(sec xtan x) = lím co s x
2
sen x
x→( / 2) x→( / 2) x→(
π/ 2) −
x→( π/ 2)
−
2
2 x
l) lím .
x
x
Se obtiene lím
x
x
2
2 x
es de uso alguno. Pero,
lím
x
2 x
x
2
=
0
=1
1
y se está girando en un círculo. Por ende, la regla de L’Hopital no
2
2 x
2
lím lím
2
x
lím
2
1
x
x
x
2 2
x x x
0 1 1
4. Haga una crítica sobre el siguiente uso de la regla de L’Hôpital:
3 2
lím
x x x
lím
x x
x
x x x 2
2 3 2 1
6 2 6
3 2
1
2 3 3 2 x2
3x
2 6 3
lím
x
2 6 6
lím
x
2 6
x
x x
2
La segunda ecuación es un uso incorrecto de la regla de L’Hôpital, ya que lím ( 3x
2x1)
7 y
2
x2
lím ( 3x
6x3) 3 . Entonces, el límite correcto sería 7 3 .
x2
− x
5. (cg) Trace la gráfica de y= xe =
x
x
.
e
Véase la figura 27.1. Por el ejemplo 2, lím y 0. Entonces, el eje x positivo es una asíntota horizontal.
x
x
x
x
Como lím e , lím y.
ye 1
x y y
e x2. Entonces, x = 1 es un número crítico. Por
x
x
el criterio de la segunda derivada, existe un máximo relativo en (1, 1/e) porque y < 0 en x = 1. La gráfica es
cóncava hacia abajo para x < 2 (donde y < 0) y cóncava hacia arriba para x > 2 (donde y > 0). (2, 2/e 2 ) es un
punto de inflexión. La graficadora proporciona los estimados 1/e 0.37 y 2/e 2 0.27.
y
e –1 I(2, 2e –2 )
1 2
x
Fig. 27.1
6. (cg) Trace la gráfica de y = x ln x.
Véase la figura 27.2. La gráfica está definida sólo para x > 0. Claramente, lím y . Por el ejemplo 5,
lím y 0 . Como y = 1 + ln x y y = 1/x > 0, el número crítico en x = 1/e (donde y= 0) resulta, por el criterio
x0
de la segunda derivada, un mínimo relativo en (1/e, –1/e). La gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes.
y
x
0
1
e
1
e
1
x
Fig. 27.2