Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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29. En cierto instante el radio de un cilindro circular recto mide 6 pulgadas y aumenta a razón de 0.2 pulgadas
por segundo (pulg/s), mientras que la altura es de 8 pulgadas y decrece a razón de 0.4 pulg/s. Determine la
variación respecto al tiempo, a) del volumen y b) de la superficie en ese instante.
Respuesta: a) 4.8 pulg 3 /s; b) 3.2 pulg 2 /s
30. Una partícula se mueve en un plano de manera tal que en el instante t su abscisa y su ordenada están dadas por
x = 2 + 3t, y = t 2 + 4 con x y y expresados en pies y t en minutos. ¿Cómo cambia la distancia de la partícula al
origen cuando t = 1?
Respuesta: 5 2 pies/minuto
31. Un punto se mueve a lo largo de la curva de intersección de x 2 + 3xy + 3y 2 = z 2 con el plano x – 2y + 4 = 0.
Cuando x = 2 y aumenta a razón de 3 unidades por segundo (unidades/s), encuente a) cómo cambia y, b) cómo
cambia z y c) la rapidez del punto.
Respuestas: a) creciendo a 3/2 unidades/s; b) creciendo a 75/14 unidades/s en (2, 3, 7) y decreciendo en
75/14 unidades/s en (2, 3, –7); c) 6.3 unidades/s
32. Halle z/ s
y z/ t
dado
a) z = x 2 – 2y 2 , x = 3s + 2t, y = 3s – 2t Respuesta: 6(x – 2y); 4(x + 2y)
b) z = x 2 + 3xy + y 2 , x = sen s + cos t, y = sen s – cos t Respuesta: 5(x + y) cos s; (x – y) sen t
c) z = x 2 + 2y 2 , x = e s – e t , y = e s + e t Respuesta: 2(x + 2y)e s ; 2(2y – x)e t
d) z = sen(4x + 5y), x = s + t, y = s – t Respuesta: 9 cos(4x + 5y); –cos(4x + 5y)
e) z = e xy , x = s 2 + 2st, y = 2st + t 2 Respuesta: 2e xy [tx + (s + t)y]; 2e xy [(s + t)x + sy]
CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
33. a) Sean u = f (x, y) y x = r cos , y = r sen ; demuestre que
2
2
u u
2
u 1
2
x y r
r
b) Sean u = f (x, y) y x = r cosh s, y = r senh s; pruebe que
2
2
u u
2
u
x y r
u
1 u
2
s s
34. a) Si z = f (x + y) + g(x – y), demuestre que 2
2
z
1 z . (Sugerencia: escriba z = f (u) + g(v), u = x + x,
2 2 2
v = x – y.)
x
y
b) Sea z = x n f (y/x); demuestre que x z/x + yz/y = nz.
c) Sea z = f (x, y) y x = g(t), y = h(t); demuestre que, sujeto a las condiciones de continuidad,
2
dz
2 2
2
= fxx ( g' ) + 2 fxyg'h' + fyy
( h' ) + fxg''
+ fyh''
dt
d) Sea z = f (x, y); x = g(r, s), y = h(r, s); demuestre que, sujeto a las condiciones de continuidad,
2
z
2 2
2
fxx( gr) 2
fxygrhr f
yy( hr) fg
x rr
fh
y rr
r
z
2
rs
xx r s xy r s s r yy r s
f g g f ( gh g h ) f hh f
xgrs fyhrs
2
z
2
2
fxx ( gs) 2
fxygshs f
yy( hs
) 2 fg fh
s
2
2
x ss y ss