Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
Teorema 52.3. Sea f(x, y) una función continua en un conjunto cerrado y acotado A. Entonces f tiene un valor
máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en A.
Una demostración del teorema 52.3 remite al lector a textos más avanzados. Para tres o más variables puede
deducirse un resultado análogo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Deduzca la fórmula (52.1)
En la figura 52.1, sea P(x + x, y + y) un segundo punto en PL y denótese por s la distancia PP.
Supóngase que z = f(x, y) posee primeras derivadas parciales continuas y se obtiene, por el teorema 49.1,
z z
x x z
y y 1 x 2 y
donde 1 y 2 0 cuando x y y 0. La razón promedio de cambio entre los puntos P y P es
z
z x
z y
x y
s
x s
y s
1
s
2
s
= z
cos z
sen1cos 2sen
x
y donde es el ángulo que la recta PP forma con el eje x. Ahora, sea P P a lo largo de PL. La
derivada direccional en P, es decir, la razón de cambio instantánea de z, es entonces
dz
z
cos
z
sen
ds x
y
2. Encuentre la derivada direccional de z = x 2 – 6y 2 en P (7, 2) en la dirección a) = 45º; b) = 135º.
La derivada direccional en cualquier punto P(x, y) en la dirección es
dz
= ∂ z
cosθ + ∂ z
senθ= 2xcosθ−
12ysenθ
ds ∂x
∂y
a) En P(7, 2) en la dirección = 45º,
dz
ds = 1
27 2 − 1
( )( 122 2 =−
2 ) ( )( 2 ) 5 2
b) En P(7, 2) en la dirección = 135º,
dz
ds = − 1
27 2 − 1
( )( 122 2 =−
2 ) ( )( 2 ) 19 2
3. Encuentre la derivada direccional de z = ye x en P(0, 3) en la dirección a) = 30º; b) = 120º.
Aquí, dz/ds = ye x cos + e x sen .
a) En (0, 3) en la dirección = 30º dz/ds = 3(1) ( 3) + = ( 3 3 + 1)
.
1
2
1
2
1
2
b) En (0, 3) en la dirección = 120º dz/ds = 3(1) ( − ) + 3 = ( − 3+
3 ).
1
2
1
2
1
2
4. La temperatura T de una placa circular en un punto (x, y) está dada por T =
64
2 2
, donde el origen es el
x + y + 2
centro de la placa. En el punto (1, 2), determine la razón de cambio de T en la dirección = /3.