Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

497
2y x 6
z
O
x y 2
(0, 2, 0)
y
CAPÍTULO 57 Integrales triples
x
Fig. 57.3
3. Calcule la integral triple de f(r, q, z) = r 2 sobre la región R acotada por el paraboloide r 2 = 9 – z y el plano z = 0
(fig. 57.4).
Primero se integra respecto a z, desde z = 0 hasta z = 9 – r 2 , luego respecto a r, desde r = 0 hasta r = 3, y
finalmente respecto a q, desde q = 0 hasta q = 2p. Esto resulta en
R
2
3 9r2
2
r dV 2 3 2
r ( rdzdrd) r ( 9 r ) drd
0
2
0
0
0
3
2
2
9 4 6
r
1
r d
243
d
243
4 6
0 4 2
0
0
3
0
(0, 3, 0)
Fig. 57.4
4. Demuestre que las integrales siguientes representan el mismo volumen: a) 4∫ 0 ∫0
∫ dz dy dx,
( x2+
y2)/
4
4 2 z 4zx2
4 4 4zy2
b) dy dxdz, y c) 4 dx dz dy
2
.
0
0
0
0 y / 4
0
4
16−x2
4