Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

220
CAPÍTULO 27 Regla de L’Hôpital
x
x
ln|ln x|
EJEMPLO 27.8. En lím |ln x| , y |ln x|
es de tipo 0 , y no es claro qué pasa en el límite. Pero ln y= xln|ln x|
=
x 0
1 / x
y tanto ln |ln x| como 1/x tienden a +. Entonces, por la regla de L’Hôpital se obtiene
ya que
lím ln y lím
1
1
lím
x
x x 2
0 0 xln x x x0
ln x 0,
lím
1
0.
x0
ln x
ln y
Por tanto, lím y = lím e = e
0
= 1
x→0+ x→0+ 1/ x
/ x
EJEMPLO 27.9. En lím x
1 1
, y
x
1
ln x
es de tipo 1 y no puede verse qué sucede en el límite. Pero ln y =
x1
x − 1
y tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Entonces, por la regla de L’Hôpital se obtiene
lím ln y = lím
1/
x
ln y 1
= 1.
Por tanto, lím y = lím e = e = e
x→1 x→1
1
x→1 x→1
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Demuestre la forma siguiente 0 0
de la regla de L’Hôpital: Sean f(x) y g(x) son diferenciables, g(x) 0 en algún
f
intervalo abierto (a, b) y lím f( x) = 0 = lím g( x).
Entonces, lím ( x )
+ +
xa
g( x)
existe,
x→a x→a
f
lím ( x ) f
lím ( x
)
xa
gx ( ) xa
g( x)
Como lím f( x) = 0 = lím g( x),
se considera que f(a) y g(a) están definidas y que f(a) = g(a) = 0. Al
x→a+ x→a+
remplazar b por x en el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5) y utilizando el hecho de que f(a) =
g(a) = 0 se obtiene
f( x)
f( x) − f( a)
f ( x )
=
= ′ 0
gx ( ) gx ( ) − ga ( ) g′
( x0)
para algún x 0 con a < x 0 < x. Entonces, x 0 a + cuando x a + . Por tanto,
f
lím ( x ) f
lím ( x
)
xa
gx ( ) xa
g( x)
También se puede obtener la forma 0 0 de la regla de L’Hôpital para lím (simplemente por ser u = –x), y
xa entonces los resultados para lím y lím dan la forma 0
xa
xa
0 de la regla de L’Hôpital para lím . x a
n
ln x
2. Por los ejemplos 1 y 2 se sabe ya que lím 0
x
x
y lím
x
(ln x)
x
0 . Demuestre además que lím 0
x
e
x
x
y
n
lím
x
x
0 para todo n entero positivo.
x
e
Use la inducción matemática. Considere estos resultados para un n 1. Por la regla de L’Hôpital,
De igual forma,
lím (ln ) n1 lím ( )(ln ) n
( ) n
x n
1 x 1/
x
x
( n 1)lím (ln ) ( n 1)( 0)
0
x
x x
1
x
x
n1 lím lím ( ) n
x n
1 x
n
x
x
( n 1) lím
x
x
( n 1)( 0)
0
x
e x
e
x
e
3. Aplique la regla de L’Hôpital una o más veces para evaluar los límites siguientes. Compruebe en todos los
casos que se cumplen los supuestos apropiados.
a) lím
xsen
2x
.
x0
xsen
2x