Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 38 Curvatura
Para determinar el punto más alto en el intervalo 0 < x < 2, dy/d = sen , de manera que el valor crítico
en el intervalo es x = . Como d 2 y/d 2 = cos < 0 cuando = , el punto = es un punto máximo relativo y
constituye el punto más alto de la curva en el intervalo.
Para hallar la curvatura,
dx
dy
dy
1cos , sen ,
sen d
d
dx 1 cos
En = , dy
dx = 0 , d 2 y
dx 2 =− 1 4 y K =−1 4.
7. Encuentre la curvatura de la cisoide y 2 (2 – x) = x 3 en el punto (1, 1) (fig. 38.6).
y
2
dy
d sen d
1
dx d
1
cos dx ( 1 cos )
,
2 2
O
(1, 1)
x
Fig. 38.6
Al derivar implícitamente la ecuación dada respecto a x se obtiene
y
–y 2 + (2 – x) 2yy' = 3x 2 (1)
–2yy' + (2 – x)2yy'' + (2 – x)2(y') 2 – 2yy' = 6x (2)
De (1), para x = y = 1, –1 + 2y' = 3 y y' = 2. De forma semejante, de (2), para x = y = 1 y y' = 2, se tiene que
32
y'' = 3. Entonces, K = 3/( 1+ 4) = 3 5/
25
/
.
8. Encuentre el punto de máxima curvatura en la curva y = ln x.
dy
dx
= 1 y dy 2
2
=−
1
2
. Entonces, K =
−x
x dx x
( 1+
x ) y dK
2 3 / 2
dx
2
=
2x
− 1
( 1+
x ) /
2 5 2
El valor crítico es, por tanto, x = 1 2 . El punto requerido es 1
,
ln2
2 2 .
9. Establezca las coordenadas del centro de curvatura C de la curva y = f(x) en un punto P(x, y), donde y' 0
(fig. 38.3).
El centro de curvatura C(, ) queda: (1) en la recta normal en P y (2) a una distancia R de P medida hacia
el lado cóncavo de la curva. Con estas condiciones se obtienen, respectivamente,
y 1 x
[ ( ) ]
( ) y' y ( ) 2 ( ) 2 2
1
y'
x y R
2
( y'' )
De la primera, – x = –y( – y). Al sustituir en la segunda se obtiene
2 3
[ 1 ( y' ) ]
( y)
2 [ 1
( y)]
2
2
( y'' )
2 3
y, por tanto,
( y'
y
)
y''
1
2