Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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45. Demuestre que el recíproco del teorema de Abel no es válido, es decir, si f ( x)=
a x
+∞
∑
n=
0
+∞
es el radio de convergencia de la serie de potencia y lím f( x)
existe, entonces ar
xr
n
n= 0
(Sugerencia: analizar f ( x ) =
1
1 x
.) +
46. Encuentre una fórmula simple para la función f(x) representada por
2
∑ nx n .
xx ( + 1)
Respuesta:
3
( 1−
x)
+∞
n=1
∑
n
n
n
para |x| < r, donde r
no necesita converger.
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
n
47. Encuentre una fórmula simple para la función f(x) representada por x
.
( n
) n
n 1
Respuesta: x + (1 – x) ln (1 – x)
48. a) Demuestre que
x
( − x)
1
2
=
+∞
∑
n= 1
+∞
2
nx n para |x| > 1. (Sugerencia: use el ejemplo 46.5.)
2
b) Demuestre que
2x
3
= nn ( 1)
x
( 1−
x)
∑ −
n para |x| < 1. [Sugerencia: primero divida la serie entre x, integre,
n= 2
factorice x, utilice el inciso a) y luego derive.]
c) Demuestre que xx ( + 1)
3
=
( 1−
x)
d) Evalúe n
+∞
+∞
2
∑ y
nn
2 ∑ .
n
2
n= 1 n= 1
Respuesta: d) 2 y 6
+∞
∑
n= 1
2
nx n para |x| < 1.